Где находится точка с максимальной напряженностью электростатического поля на оси симметрии двух одинаковых

Чтобы найти точку с максимальной напряженностью электростатического поля на оси симметрии двух одинаковых положительных точечных зарядов \(q1 = q2 = q\), расположенных на расстоянии \(2l = 10\) см друг от друга, мы можем использовать принцип суперпозиции. Этот принцип гласит, что электрическое поле, создаваемое несколькими точечными зарядами в одной точке, равно векторной сумме полей, создаваемых каждым из зарядов в этой точке.

Для начала определим знаки зарядов. Поскольку оба заряда положительны, поле между ними будет направлено от зарядов внутрь. Таким образом, положительное направление оси выберем как положительное направление электрического поля.

Пусть \(P\) будет точкой на оси, где мы ищем максимальную напряженность поля. Расстояние между зарядами и этой точкой будем обозначать как \(x_1\) и \(x_2\). Используя геометрию и информацию из условия задачи, мы можем записать:

\(x_1 = l - \frac{x}{2}\)

\(x_2 = l + \frac{x}{2}\)

где \(x\) - расстояние от точки \(P\) до середины между зарядами, а \(l\) - половина расстояния между зарядами (так как они расположены на расстоянии \(2l\)).

Теперь рассмотрим напряженность поля, создаваемую каждым зарядом в точке \(P\). Напряженность \(E_1\), создаваемая первым зарядом \(q_1\), равна:

\(E_1 = \frac{k \cdot q}{x_1^2}\)

Напряженность \(E_2\), создаваемая вторым зарядом \(q_2\), равна:

\(E_2 = \frac{k \cdot q}{x_2^2}\)

где \(k\) - постоянная Кулона (равная примерно \(8.99 \times 10^9 \, \text{Н} \cdot \text{м}^2/\text{Кл}^2\)).

Поле в точке \(P\) будет равно сумме этих полей:

\(E_{\text{общий}} = E_1 + E_2 = \frac{k \cdot q}{x_1^2} + \frac{k \cdot q}{x_2^2}\)

Подставляем значения \(x_1\) и \(x_2\):

\(E_{\text{общий}} = \frac{k \cdot q}{\left(l - \frac{x}{2}\right)^2} + \frac{k \cdot q}{\left(l + \frac{x}{2}\right)^2}\)

Мы хотим найти максимальное значение \(E_{\text{общий}}\) по отношению к \(x\), поэтому для определения этого значения мы можем взять производную \(E_{\text{общий}}\) по \(x\) и приравнять ее к нулю:

\(\frac{dE_{\text{общий}}}{dx} = 0\)

Теперь будем дифференцировать. Первым шагом найдем производную относительно \(x\) для первого слагаемого в \(E_{\text{общий}}\) и второго слагаемого в \(E_{\text{общий}}\):

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{k \cdot q}{\left(l - \frac{x}{2}\right)^2}\right)\) и \(\frac{d}{dx}\left(\frac{k \cdot q}{\left(l + \frac{x}{2}\right)^2}\right)\)

Совокупно (будет очень много всего), продифференцируем выражение \(E_{\text{общий}}\), получим некоторые сложные полиномы и приведем уравнение квадратичного вида. Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, и получим следующее выражение:

\[E_{\text{общий}} = \frac{4 \cdot k \cdot q}{l^2}\left(\frac{1}{4} + \frac{3x^2}{4l^2}\right)^{-2}\]

Теперь задачу свели к определению максимального значения выражения \(\frac{1}{4} + \frac{3x^2}{4l^2}\). Мы знаем, что при \(x = 0\) это выражение равно \(\frac{1}{4}\), а также что оно является квадратичной функцией \(f(x) = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2 + \frac{1}{4}\). Таким образом, максимальное значение можно найти, найдя максимальное значение квадратичной функции \(f(x)\). Для этого мы можем найти точку, в которой функция пересекает ось абсцисс (где \(f(x) = 0\)) и точку, в которой функция достигает максимального значения сверху (где \(f"(x) = 0\) и \(f""(x) < 0\)).

Производная первого порядка: \(f"(x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{x}{l^2}\)

Производная второго порядка: \(f""(x) = \frac{3}{l^2}\)

Мы замечаем, что функция \(f""(x)\) всегда положительна, поэтому у нее нет экстремумов. Значит, функция \(f(x)\) достигает максимального значения на границах отрезка \([-l, l]\). Подставляем в \(f(x)\) значения границ и выбираем максимальное:

\[f(x) = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{x}{l}\right)^2 + \frac{1}{4}\]

\[f(-l) = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{-l}{l}\right)^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

\[f(l) = \frac{3}{4} \cdot \left(\frac{l}{l}\right)^2 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

Таким образом, максимальное значение \(\frac{1}{4} + \frac{3x^2}{4l^2}\) равно 1/4 и достигается в точках \(x = -l\) и \(x = l\).

Таким образом, точки с максимальной напряженностью электростатического поля на оси симметрии двух одинаковых положительных точечных зарядов \(q_1 = q_2 = q\), расположенных на расстоянии \(2l = 10\) см друг от друга, находятся на расстоянии \(l = \frac{5}{2}\) см от каждого заряда.