Каковы наибольшая и наименьшая стороны прямоугольного треугольника, если один из его острых углов вдвое больше другого

Давайте решим данную задачу шаг за шагом, чтобы понять, как найти наибольшую и наименьшую стороны прямоугольного треугольника.

Пусть стороны треугольника обозначены как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) - наибольшая сторона, \(b\) - наименьшая сторона, а \(c\) - гипотенуза треугольника.

Из условия задачи известно, что один из острых углов вдвое больше другого. Обозначим меньший угол как \(\theta\) и больший угол как \(2\theta\).

Поскольку сумма всех углов треугольника равна \(180^\circ\), мы можем записать следующее уравнение:

\(\theta + 2\theta + 90^\circ = 180^\circ\)

Суммируя углы, получаем:

\(3\theta + 90^\circ = 180^\circ\)

Вычитаем \(90^\circ\) из обеих сторон уравнения:

\(3\theta = 90^\circ\)

Делим обе стороны на 3:

\(\theta = 30^\circ\)

Теперь мы знаем значение \(2\theta\):

\(2\theta = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\)

Так как этот треугольник является прямоугольным, гипотенуза \(c\) связана с углом больше \(90^\circ\).

Гипотенуза- это наибольшая сторона треугольника, поэтому \(c = a\).

Мы также знаем, что разность между наибольшей и наименьшей сторонами равна 49 см:

\(c - b = 49\)

Так как \(c = a\), мы можем переписать уравнение:

\(a - b = 49\)

Теперь у нас есть два уравнения:

\(a - b = 49\) (Уравнение 1)

\(c = a\) (Уравнение 2)

Давайте решим эти два уравнения. Выразим \(a\) через \(b\) в Уравнении 1:

\(a = b + 49\) (Уравнение 3)

Подставим это значение \(a\) в Уравнение 2:

\(c = b + 49\) (Уравнение 4)

Теперь нам известно выражение для гипотенузы \(c\) через \(b\).

Мы также знаем, что в прямоугольном треугольнике для сторон \(b\) и \(c\) выполняется теорема Пифагора:

\(a^2 = b^2 + c^2\)

Подставим значения \(a\) и \(c\) из Уравнения 3 и 4:

\((b + 49)^2 = b^2 + (b + 49)^2\)

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(b^2 + 98b + 2401 = b^2 + b^2 + 98b + 2401\)

Упрощаем уравнение:

\(0 = b^2 - b^2 + 98b - 98b + 2401 - 2401\)

\(0 = 0\)

Получили тождественное уравнение, что означает, что любые значения \(b\) и \(c\), удовлетворяющие условию задачи, являются решениями.

То есть, \(b\) и \(c\) могут принять любые значения, такие, что разность между ними равна 49 см.

Пример возможного решения: \(b = 24\) см, \(c = 73\) см.

Таким образом, наибольшая и наименьшая стороны прямоугольного треугольника могут быть любыми, при условии, что их разность равна 49 см.