Каковы минимальное и максимальное значения функции y=sin(x-п/4)+0,5 на интервале [п/4;3п/4]?

Чтобы найти минимальное и максимальное значения функции \(y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) + 0.5\) на интервале \([\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]\), нам нужно применить несколько шагов.

Шаг 1: Найдем значения функции в конечных точках интервала.
Подставим \(x = \frac{\pi}{4}\) в функцию:
\(y = \sin(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + 0.5 = \sin(0) + 0.5 = 0 + 0.5 = 0.5\)
Таким образом, значение функции в точке \(\frac{\pi}{4}\) равно 0.5.

Подставим \(x = \frac{3\pi}{4}\) в функцию:
\(y = \sin(\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + 0.5 = \sin(\frac{\pi}{2}) + 0.5 = 1 + 0.5 = 1.5\)
Таким образом, значение функции в точке \(\frac{3\pi}{4}\) равно 1.5.

Шаг 2: Найдем экстремумы функции.
Для этого возьмем производную функции \(y\) по \(x\) и приравняем ее к нулю:
\(\frac{dy}{dx} = \cos(x - \frac{\pi}{4})\)
\(\cos(x - \frac{\pi}{4}) = 0\)

Зная, что \(\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\), мы можем найти две точки, в которых косинус равен нулю:
\(x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

Тогда, решая уравнение относительно \(x\), получим:
\(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - любое целое число.

Видим, что интервал \([\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]\) содержит только одну такую точку, которая равна \(\frac{\pi}{2}\).

Теперь найдем значение функции в точке \(\frac{\pi}{2}\):
Подставим \(x = \frac{\pi}{2}\) в функцию:
\(y = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + 0.5 = \sin(\frac{\pi}{4}) + 0.5 = \frac{\sqrt{2}}{2} + 0.5 = \frac{\sqrt{2} + 1}{2}\)

Шаг 3: Сравним все найденные значения функции и выберем наибольшее и наименьшее.
Значения функции, которые мы нашли, следующие:
- На точке \(\frac{\pi}{4}\) функция равна 0.5
- На точке \(\frac{3\pi}{4}\) функция равна 1.5
- На точке \(\frac{\pi}{2}\) функция равна \(\frac{\sqrt{2} + 1}{2}\)

Минимальное значение функции находится в точке \(\frac{\pi}{4}\), где \(y = 0.5\).
Максимальное значение функции находится в точке \(\frac{3\pi}{4}\), где \(y = 1.5\).

Таким образом, минимальное значение функции \(y = \sin(x - \frac{\pi}{4}) + 0.5\) на интервале \([\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}]\) равно 0.5, а максимальное значение равно 1.5.