Каковы масса и скорость пластилинового шарика, который движется со скоростью v и попадает в точку на сплошном цилиндре

Пусть масса пластилинового шарика будет \(m_1\), а его скорость \(v_1\). Также, пусть масса цилиндра будет \(m_2\), его радиус \(r\), расстояние от оси цилиндра до линии удара \(a\) и его скорость вращения \(v_2\).

Удар пластилинового шарика о цилиндр можно рассматривать как упругий, если потери энергии в результате деформации очень малы. В этом случае можно применить законы сохранения импульса и момента импульса.

Согласно закону сохранения импульса, в горизонтальном направлении мы имеем:

\[m_1v_1 = m_1u_1 + m_2u_2 \quad (1)\]

где \(u_1\) - скорость пластилинового шарика после удара, а \(u_2\) - скорость цилиндра после удара. Так как шарик движется в горизонтальном направлении до удара и все остальные движущиеся части закреплены на цилиндре, то их горизонтальные скорости равны нулю. Получаем \(m_1v_1 = m_1u_1\).

Закон сохранения момента импульса позволяет нам написать:

\[m_1rv_1 = m_1ru_1 + I_2\omega \quad (2)\]

где \(I_2\) - момент инерции цилиндра, а \(\omega\) - его угловая скорость после удара. Поскольку линия удара проходит на расстоянии \(a\) от оси цилиндра, момент инерции цилиндра относительно этой точки равен \(I_2 = m_2a^2\). Также, по определению \(v_2 = \omega r\). Получаем \(m_1rv_1 = m_1ru_1 + m_2a^2v_2\).

Из уравнений (1) и (2) можно выразить скорости \(u_1\) и \(u_2\):

\[u_1 = v_1 - \frac{m_2}{m_1}v_2 \quad (3)\]
\[u_2 = \frac{m_1v_1 - m_1u_1}{m_2a^2} \quad (4)\]

Теперь можем найти массу и скорость пластилинового шарика после удара.

Для этого решим систему уравнений (3) и (4).

Подставим значение \(v_1 = 10\) и данные о цилиндре \(m_2 = 200 \, \text{г}\), \(r = 5 \, \text{см}\), \(a = 3 \, \text{см}\), \(v_2 = 0\) (так как цилиндр неподвижен до удара) и найдем значения \(u_1\) и \(u_2\).

\[
u_1 = 10 - \frac{0.2}{m_1} \cdot 0 = 10 \quad (5)
\]
\[
u_2 = \frac{10 - 10}{0.2 \cdot 0.03^2} = 0 \quad (6)
\]

Из уравнения (5) видно, что скорость пластилинового шарика после удара \(u_1\) равна исходной скорости \(v_1\), то есть 10 м/с. Из уравнения (6) можно сделать вывод, что скорость цилиндра после удара \(u_2\) равна нулю.

Таким образом, масса и скорость пластилинового шарика после удара равны \(m_1\) и \(u_1\) соответственно, то есть \(m_1 = 200 \, \text{г}\) и \(u_1 = 10 \, \text{м/с}\).