Каковы координаты вершины D параллелограмма ABCD с координатами A(3;8;-2), B(-4;5;-1) и C(2;-1;1)?

Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма ABCD, мы можем воспользоваться свойствами параллелограмма.

Как вы знаете, параллелограммы имеют противоположные стороны, которые равны и параллельны. Также известно, что диагонали параллелограмма делятся пополам.

Пусть M будет точкой пересечения диагоналей AC и BD, а N - серединной точкой отрезка BC.

Определим координаты серединной точки N:
\[x_N = \frac{x_B + x_C}{2} = \frac{-4 + 2}{2} = -1\]
\[y_N = \frac{y_B + y_C}{2} = \frac{5 + (-1)}{2} = 2\]
\[z_N = \frac{z_B + z_C}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0\]

Теперь найдем координаты точки M. Для этого нам понадобится использовать векторное уравнение прямой, проходящей через точки A и C, и векторное уравнение прямой, проходящей через точки B и D.

Векторная форма уравнения прямой, проходящей через две точки A и C, имеет вид:
\[(x,y,z) = (x_A, y_A, z_A) + t((x_C - x_A), (y_C - y_A), (z_C - z_A))\]

Разложим векторы AC и BD и составим систему уравнений:
AC: \((x,y,z) = (3,8,-2) + t((2 - 3), (-1 - 8), (1 - -2)) = (3,8,-2) + t(-1,-9,3)\)
BD: \((x,y,z) = (x_B, y_B, z_B) + t((x_D - x_B), (y_D - y_B), (z_D - z_B))\)

Так как точка M является точкой пересечения диагоналей, она лежит одновременно на прямых AC и BD, значит, для нее выполняются оба уравнения прямых.

Составим систему из двух уравнений:
\[\begin{cases}
x = -1 - t \\
y = 2 - 9t \\
z = 3t - 2
\end{cases}\]

Решим эту систему уравнений. Решение показывает координаты точки M.

\[-1 - t = 3, \quad 2 - 9t = 8, \quad 3t - 2 = -2\]
\[t = -4, \quad t = -\frac{6}{9}, \quad t = 0\]

Подставим каждое значение t в систему уравнений, и находим точку M:
При \(t = -4\):
\[M: (-1 + 4, 2 + 36, -12 - 2) = (3, 38, -14)\]
При \(t = -\frac{6}{9}\) (сократим на 3):
\[M: (-1 - 2, 2 - 6, 0 - 2) = (-3, -4, -2)\]
При \(t = 0\):
\[M: (-1, 2, -2)\]

Таким образом, M принимает два значения, а именно (3, 38, -14) и (-3, -4, -2). Так как нам нужно найти вершину D, которая лежит на отрезке BC, нам нужно выбрать ту точку, которая не является серединной точкой.
Следовательно, координаты вершины D параллелограмма ABCD равны (-3, -4, -2).