Каковы координаты вершины C равностороннего треугольника ABC, расположенного в первой четверти, если точка A имеет

имеет координаты (3; 1)?

Чтобы найти координаты вершины C равностороннего треугольника ABC, нужно знать, что равносторонний треугольник имеет все стороны одинаковой длины и все углы равны 60 градусам.

Для начала, рассмотрим отрезок AB, который соединяет точки A и B. Поскольку треугольник находится в первой четверти, его вершина C должна находиться выше отрезка AB, в любом месте, где касательная четверти кривая.

Так как треугольник ABC равносторонний, он имеет все углы по 60 градусов. Мы знаем, что треугольник находится в первой четверти, поэтому его вершина C должна находиться выше прямой AB и правее точки A.

Строим перпендикуляр из точки B на отрезок AB. Для этого рассмотрим уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Уравнение прямой в общем виде выглядит как \(y = kx + c\), где \(k\) - наклон прямой, а \(c\) - свободный член уравнения.

Наклон прямой можно найти по формуле \(k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\) для двух точек \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\) на этой прямой.

Для точек A(1, 1) и B(3, 1) имеем \(k = \frac{1 - 1}{3 - 1} = 0\), так как разница между \(y_1\) и \(y_2\) равна 0.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и B, имеет вид \(y = c\), где \(c\) - это высота, на которой находится вершина C равностороннего треугольника.

Так как треугольник равносторонний, то сторона AB равна стороне BC, поэтому расстояние между точками B и C равно радиусу описанной окружности равностороннего треугольника.

Расстояние между точками B(3, 1) и C(x, y) можно найти по формуле длины отрезка: \(d = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}\).

Заметим, что \(d\) равно стороне равностороннего треугольника, значит, \(d\) равно расстоянию между B и C.

Подставим координаты точек B и C в формулу: \(\sqrt{{(x - 3)^2 + (y - 1)^2}} = d\).

Так как сторона AB равна 2, то сторона BC также равна 2, и расстояние между B и C равно 2.

Подставим это значение в уравнение: \(\sqrt{{(x - 3)^2 + (y - 1)^2}} = 2^2\).

Упростим уравнение: \((x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 4\).

Нам нужно найти точку C, которая находится выше прямой AB и правее точки A. Так как C находится выше прямой AB, у нее \(y > 1\). Если точка C находится на прямой \(y = c\), то уравнение будет иметь вид \((x - 3)^2 + (c - 1)^2 = 4\).

Мы знаем, что радиус описанной окружности равностороннего треугольника равен 2, а высота выше прямой AB, то есть \(c - 1\), равно радиусу. Значит, \((c - 1)^2 = 2^2\).

Решим это квадратное уравнение: \((c - 1)^2 = 4\).

Раскроем скобки: \(c^2 - 2c + 1 = 4\).

Прибавим -4 к обеим частям: \(c^2 - 2c - 3 = 0\).

Факторизуем это уравнение: \((c - 3)(c + 1) = 0\).

Получаем два возможных значения для \(c\): \(c_1 = 3\) и \(c_2 = -1\).

Так как точка C должна находиться выше прямой AB, то мы выбираем только положительное значение \(c_1 = 3\).

Теперь, когда у нас есть значение \(c = 3\), мы можем найти точку C, зная, что она находится на прямой \(y = 3\).

Подставим \(y = 3\) в уравнение прямой AB: \(3 = 0x + 3\), откуда \(x = 0\).

Таким образом, координаты вершины C равностороннего треугольника ABC будут (0, 3).

Итак, координаты вершины C равностороннего треугольника ABC, расположенного в первой четверти, при условии, что точка A имеет координаты (1, 1) и точка B имеет координаты (3, 1), равны (0, 3).