1) Сколько возможных кодов может существовать, состоящих только из буквы А и цифры 1 ? Подсказка: какое количество мест

1) Для данной задачи нам нужно определить количество возможных кодов, состоящих только из буквы "А" и цифры "1". Подсказка говорит нам о том, что нам нужно выбрать определенное количество мест для цифры "1", а оставшиеся места будут заполнены буквой "А".

Пусть у нас будет \(n\) мест в коде, и мы должны выбрать \(k\) мест для цифры "1". Тогда оставшиеся \((n-k)\) мест будут автоматически заполнены буквой "А".

Теперь мы можем использовать комбинаторный подход. Количество способов выбрать \(k\) мест из \(n\) мест можно выразить с помощью символа "C" и вычислить с помощью формулы:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

В нашем случае \(n=2\) (поскольку у нас только два возможных символа - "А" и "1") и \(k\) - это количество мест, которые мы хотим занять цифрой "1". Таким образом, \(k\) может принимать значения от 0 до 2.

Давайте рассмотрим каждое возможное значение \(k\) и найдем количество возможных кодов для каждого случая:

- \(k = 0\): Мы не хотим использовать цифру "1", поэтому все \(n\) мест будут заполнены символом "А". В этом случае у нас будет только один возможный код: "АА".

- \(k = 1\): Мы хотим использовать цифру "1" на одном из мест, а оставшееся место заполнить символом "А". В этом случае у нас будет два возможных кода: "А1" и "1А".

- \(k = 2\): Мы хотим использовать цифру "1" на обоих местах. В этом случае также у нас будет один возможный код: "11".

Таким образом, в зависимости от значения \(k\) мы получаем разное количество возможных кодов:

- \(k = 0\): 1 возможный код ("АА")
- \(k = 1\): 2 возможных кода ("А1", "1А")
- \(k = 2\): 1 возможный код ("11")

Всего возможно \(1+2+1 = 4\) различных кодов, состоящих только из буквы "А" и цифры "1".

2) В этой задаче нам нужно определить количество различных комбинаций, которые можно выбрать из класса, состоящего из 35 человек, для участия в конкурсе строя и песни. Мы должны выбрать 30 человек из общего количества.

Для решения этой задачи мы должны использовать комбинаторику и формулу для количества сочетаний "C". Количество способов выбрать \(k\) объектов из \(n\) объектов равно:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

В нашем случае \(n = 35\) (общее количество людей в классе) и \(k = 30\) (количество людей, которых мы хотим выбрать для участия в конкурсе).

Мы можем использовать эту формулу для вычисления количества комбинаций:

\[
C(35, 30) = \frac{{35!}}{{30! \cdot (35-30)!}} = \frac{{35!}}{{30! \cdot 5!}}
\]

Теперь мы можем воспользоваться формулой для вычисления факториала. Для положительного целого числа \(n\) факториал \(n!\) определяется как произведение всех положительных целых чисел от 1 до \(n\):

\[
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1
\]

В нашем случае \(n = 35\), поэтому нам нужно вычислить \(35!\). Вычисление этого факториала может быть сложной задачей, но мы можем воспользоваться простым методом аппроксимации.

Мы знаем, что \(5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\), поэтому мы можем записать:

\[
C(35, 30) = \frac{{35!}}{{30! \cdot 5!}} = \frac{{35!}}{{30! \cdot 120}}
\]

Теперь нам нужно сократить выражение \(35!\) снизу и сверху с помощью факториалов. Мы можем записать:

\[
35! = 35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30!
\]

Подставляя это обратно в наше выражение, мы получаем:

\[
C(35, 30) = \frac{{35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31 \cdot 30!}}{{30! \cdot 120}}
\]

Теперь мы можем сократить \(30!\) сверху и снизу:

\[
C(35, 30) = \frac{{35 \cdot 34 \cdot 33 \cdot 32 \cdot 31}}{{120}} = 32760
\]

Таким образом, из класса, состоящего из 35 человек, можно выбрать 32760 различных комбинаций для участия в конкурсе строя и песни.

3) В этой задаче нам нужно определить количество возможных вариантов потери карточек у Васи и количество различных последовательностей, в которых у Маши могут быть ее карточки с изображениями растений.

- У Васи изначально было 15 карточек с изображениями животных. После потери, у него осталось \(15 - 7 = 8\) карточек. Таким образом, у него может быть только один возможный вариант потери карточек - потеря 7 карточек.

- У Маши изначально было 12 карточек с изображениями растений. В этом случае нам нужно определить количество различных последовательностей, в которых она может разместить эти карточки. Мы можем использовать комбинаторный подход.

У нас есть 12 карточек, которые Маша может расположить в последовательности. Первую карточку Маша может выбрать из 12 вариантов. После того, как она выбрала первую карточку, у нее остается 11 карточек для выбора второй и так далее.

Используя принцип умножения, мы можем умножить количество вариантов выбора для каждой карточки и получить общее количество возможных последовательностей.

\[
12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 479001600
\]

Таким образом, у Маши может быть 479001600 различных последовательностей карточек с изображениями растений.