Каковы координаты вершин треугольника ABC, если середины его сторон имеют координаты К(-4; 2), L(1; 6) и М(-3

Чтобы найти координаты вершин треугольника ABC, будем использовать свойство серединных перпендикуляров: середины сторон треугольника соединены отрезками с вершинами треугольника и делят эти стороны пополам.

1. Найдём координаты вершины A. Для этого соединим середину стороны KL с вершиной A. Поскольку середина стороны KL имеет координаты K(-4; 2), а вершина L имеет координаты L(1; 6), то мы можем найти координаты вершины A, используя формулу середины отрезка:

\(x_A = 2 \cdot x_K - x_L\) и \(y_A = 2 \cdot y_K - y_L\).

Подставляя значения координат, получаем:

\(x_A = 2 \cdot (-4) - 1 = -9\) и \(y_A = 2 \cdot 2 - 6 = -2\).

Таким образом, координаты вершины A равны (-9; -2).

2. Найдём координаты вершины B. Для этого соединим середину стороны LM с вершиной B. Используя формулы, аналогичные предыдущему пункту, получаем:

\(x_B = 2 \cdot x_L - x_M\) и \(y_B = 2 \cdot y_L - y_M\).

Подставляя значения координат, получаем:

\(x_B = 2 \cdot 1 - (-3) = 5\) и \(y_B = 2 \cdot 6 - 2 = 10\).

Таким образом, координаты вершины B равны (5; 10).

3. Координаты вершины C мы можем найти, соединив середину стороны KM с вершиной C. Используя формулы, получаем:

\(x_C = 2 \cdot x_K - x_M\) и \(y_C = 2 \cdot y_K - y_M\).

Подставляя значения координат, получаем:

\(x_C = 2 \cdot (-4) - (-3) = -5\) и \(y_C = 2 \cdot 2 - 2 = 2\).

Таким образом, координаты вершины C равны (-5; 2).

Теперь перейдём к нахождению длины медианы. Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для нахождения длины медианы воспользуемся формулой:

\(m = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (a^2 + b^2) - c^2}\),

где a, b и c - стороны треугольника.

Сначала найдем длины сторон треугольника.

Сторона AB можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками:

\(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).

Подставляя значения координат, получаем:

\(AB = \sqrt{(5 - (-9))^2 + (10 - (-2))^2} = \sqrt{14^2 + 12^2} = \sqrt{196 + 144} = \sqrt{340}\).

Сторона BC и сторона AC можно найти аналогичным образом:

\(BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\),

\(AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\).

Подставляя значения координат, получаем:

\(BC = \sqrt{(-5 - 5)^2 + (2 - 10)^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164}\),

\(AC = \sqrt{(-5 - (-9))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-5 + 9)^2 + (2 + 2)^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).

Теперь, используя формулу для длины медианы и найденные длины сторон треугольника, найдем длину медианы:

\(m = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (AB^2 + BC^2) - AC^2}\).

Подставляя значения, получаем:

\(m = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot ((\sqrt{340})^2 + (\sqrt{164})^2) - (4\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (340 + 164) - 32} = \frac{1}{2} \sqrt{844}\).

Таким образом, длина медианы треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} \sqrt{844}\).