Найти радиус сферы, которая проходит через вершины равнобедренного треугольника с основанием 4 см и углом при вершине

Чтобы найти радиус сферы, проходящей через вершины данного равнобедренного треугольника, нам понадобится найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника.

Сначала рассчитаем высоту треугольника. У нас есть равнобедренный треугольник с основанием 4 см. Поскольку угол при вершине равен \( \arcsin(13) \), мы можем использовать связь между синусом и противоположным катетом в прямоугольном треугольнике. То есть мы знаем, что \(\sin(x) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{гипотенуза}}} \).

Таким образом, \(\sin(\arcsin(13)) = \frac{{\text{противоположный катет}}}{{\text{гипотенуза}}} \). Так как синус и арксинус являются обратными функциями друг друга, они сокращаются, и у нас остается \(\frac{{13}}{{\text{гипотенуза}}} \).

Треугольник равнобедренный, поэтому мы можем предположить, что гипотенуза делится на две равные части. Так как база треугольника равна 4 см, каждый катет равен \(\frac{{4}}{{2}} = 2\) см.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы. Так как у нас прямоугольный треугольник с катетами длиной 2 см, мы можем записать \(2^2 + 2^2 = \text{гипотенуза}^2\), что приводит к \(4 + 4 = \text{гипотенуза}^2\). Таким образом, \(\text{гипотенуза} = \sqrt{8}\).

Теперь у нас есть значение гипотенузы, а также значение противоположного катета. Мы можем найти высоту треугольника, умножив противоположный катет на \(\frac{{\text{гипотенуза}}}{{13}}\).

Таким образом, высота равнобедренного треугольника равна \(2 \cdot \frac{{\sqrt{8}}}{{13}}\).

Чтобы найти радиус сферы, проходящей через вершины треугольника, мы можем использовать связь между радиусом сферы и высотой равнобедренного треугольника. Радиус сферы равен половине высоты треугольника.

Таким образом, радиус сферы, проходящей через вершины треугольника, равен \( \frac{{1}}{{2}} \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt{8}}}{{13}} \).

Упрощая выражение, получаем, что радиус сферы равен \( \frac{{\sqrt{8}}}{{13}} \) или примерно 0,4 см.