Каковы координаты точки минимума функции, заданной уравнением Y = 15 + 147x - x^3?

Хорошо, давайте найдем координаты точки минимума функции \(Y = 15 + 147x - x^3\).

Для начала, нам нужно найти производную этой функции. Производная покажет нам уклонение функции в каждой точке и поможет найти экстремумы.

Давайте возьмем производную функции:

\[
\frac{{dY}}{{dx}} = 147 - 3x^2
\]

Теперь нам нужно найти точку, где производная равна нулю, так как это может быть место минимума. Решим уравнение:

\[
147 - 3x^2 = 0
\]

Вычтем 147 из обеих сторон и разделим на -3:

\[
-3x^2 = -147
\]

\[
x^2 = \frac{{147}}{{3}}
\]

\[
x^2 = 49
\]

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, мы получим:

\[
x = \pm 7
\]

Таким образом, функция имеет две кандидатуры на точки минимума: x = -7 и x = 7.

Чтобы узнать, какая из этих точек является точкой минимума, мы можем взять вторую производную функции. Если вторая производная больше нуля, то точка является точкой минимума. Давайте найдем вторую производную:

\[
\frac{{d^2Y}}{{dx^2}} = \frac{{d}}{{dx}}(147 - 3x^2) = -6x
\]

Подставим конкретные значения x во вторую производную:

\[
\frac{{d^2Y}}{{dx^2}} \Bigg|_{x = -7} = -6(-7) = 42
\]

\[
\frac{{d^2Y}}{{dx^2}} \Bigg|_{x = 7} = -6(7) = -42
\]

Как мы видим, вторая производная равна положительному числу при x = -7 и отрицательному числу при x = 7. Это означает, что точка x = -7 является точкой минимума функции.

Теперь, чтобы найти соответствующие координаты точки минимума, давайте подставим x = -7 в исходное уравнение:

\[
Y = 15 + 147(-7) - (-7)^3
\]

\[
Y = 15 - 1029 + 343
\]

\[
Y = -671
\]

Таким образом, координаты точки минимума функции \(Y = 15 + 147x - x^3\) равны (-7, -671).