Каковы координаты точки, через которую проходит плоскость с уравнением 4x-y+3z+1=0?

Конечно! Чтобы найти координаты точки, через которую проходит плоскость с уравнением \(4x - y + 3z + 1 = 0\), мы можем следовать нескольким шагам.

Шаг 1: Представим уравнение плоскости в параметрической форме.

Для этого мы положим одну из переменных (например, \(z\)) равной свободному члену уравнения, и найдем другие две переменные (\(x\) и \(y\)) через параметры. Пусть \(z = t\), где \(t\) - параметр. Тогда у нас есть:

\(4x - y + 3t + 1 = 0\)

Шаг 2: Решим уравнение относительно переменных \(x\) и \(y\).

Раскроем скобки:

\(4x - y + 3t + 1 = 0\)

Перенесем свободный член на другую сторону:

\(4x - y = -3t - 1\)

Теперь решим систему уравнений:

\[\begin{cases} 4x - y = -3t - 1 \\ z = t \end{cases}\]

Для этого применим метод Гаусса или другой подход к решению линейных систем. Я приведу финальный результат без промежуточных расчетов.

Шаг 3: Получим значения переменных \(x\), \(y\) и \(z\).

Решив систему уравнений, получаем:

\(x = \frac{1}{2}t + \frac{1}{4}\)

\(y = \frac{7}{4}t + \frac{5}{4}\)

\(z = t\)

Таким образом, мы получаем параметрические выражения для \(x\), \(y\) и \(z\) в зависимости от параметра \(t\). Координаты точки \(P\), через которую проходит данная плоскость, определяются как значения \(x\), \(y\) и \(z\) при некотором конкретном значении параметра \(t\).

Для того чтобы получить конкретные координаты, мы можем выбрать какое-либо значение параметра \(t\) (например, \(t = 0\)), и подставить его в формулы для \(x\), \(y\) и \(z\):

\(x = \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\)

\(y = \frac{7}{4} \cdot 0 + \frac{5}{4} = \frac{5}{4}\)

\(z = 0\)

Таким образом, координаты точки \(P\) равны \(x = \frac{1}{4}\), \(y = \frac{5}{4}\) и \(z = 0\).

Я надеюсь, что данное пошаговое решение было понятно и полезно для вас! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.