Для каких значений a уравнение 2^x-a=sqrt(4^x-3a) имеет только один корень?

Для того чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет только один корень, мы должны проанализировать его математическую структуру.

Итак, у нас есть следующее уравнение:

\[2^x - a = \sqrt{4^x - 3a}\]

Для начала, мы можем привести уравнение к квадратному виду, чтобы проще проанализировать его свойства. Для этого возводим обе части уравнения в квадрат:

\[(2^x - a)^2 = (\sqrt{4^x - 3a})^2\]

\[4^x - 2 \cdot 2^x \cdot a + a^2 = 4^x - 3a\]

Теперь упростим полученное уравнение:

\[-2 \cdot 2^x \cdot a + a^2 = -3a\]

\[a^2 - 2 \cdot 2^x \cdot a + 3a = 0\]

Таким образом, мы получаем квадратное уравнение. Чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет только один корень, мы должны рассмотреть дискриминант этого уравнения.

Дискриминант квадратного уравнения вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\), где a, b и c - коэффициенты этого уравнения. В нашем случае, коэффициенты равны:

\[a = 1, \quad b = -2 \cdot 2^x, \quad c = 3\]

Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-2 \cdot 2^x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3\]

\[D = 4^{2x} - 12\]

Теперь мы можем анализировать значения D, чтобы найти значения a, при которых уравнение имеет только один корень:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю).
3. Если D < 0, то уравнение не имеет решений в действительных числах.

Мы хотим найти значения a, при которых уравнение имеет только один корень. Это означает, что нам нужно найти такие значения a, при которых D = 0.

\[4^{2x} - 12 = 0\]

Теперь решим это уравнение относительно x:

\[4^{2x} = 12\]

Применим логарифмы с основанием 4 к обеим частям уравнения:

\[2x = \log_4 12\]

\[x = \frac{\log_4 12}{2}\]

Таким образом, мы можем найти значение x, при котором уравнение имеет только один корень. Однако, для получения значений a, мы должны знать значение x.

Поэтому, чтобы ответить на ваш вопрос о значениях a, при которых уравнение имеет только один корень, мы должны использовать полученное значение x и подставить его обратно в исходное уравнение, чтобы найти соответствующие значения a.