Каковы коэффициенты квадратного трехчлена f(x)=ax2+bx+c, если a> 0 и |f(1)|=|f(2)|=|f(3)|=2?

Данная задача требует найти коэффициенты квадратного трехчлена \(f(x) = ax^2 + bx + c\) при условии, что \(a > 0\) и модули значения \(|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 2\).

Для начала, нам необходимо выразить значения \(|f(1)|\), \(|f(2)|\) и \(|f(3)|\) через коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). Для этого подставим \(x = 1\), \(x = 2\) и \(x = 3\) в уравнение \(f(x)\), а затем возьмем модули полученных значений.

Подставим \(x = 1\):
\[f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c\]
\(|f(1)| = |a + b + c|\)

Подставим \(x = 2\):
\[f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 4a + 2b + c\]
\(|f(2)| = |4a + 2b + c|\)

Подставим \(x = 3\):
\[f(3) = a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c\]
\(|f(3)| = |9a + 3b + c|\)

По условию задачи, \(|f(1)| = |f(2)| = |f(3)| = 2\), поэтому можем записать следующую систему уравнений:
\[\begin{cases} |a + b + c| = 2 \\ |4a + 2b + c| = 2 \\ |9a + 3b + c| = 2 \end{cases}\]

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

1. \(a + b + c = 2\) и \(|a + b + c| = 2\):
В этом случае, значение выражения \(a + b + c\) должно быть равно 2, так как модуль от 2 равен 2. Мы получили первое уравнение.

2. \(4a + 2b + c = 2\) и \(|4a + 2b + c| = 2\):
В этом случае, значение выражения \(4a + 2b + c\) должно быть равно 2. Мы получили второе уравнение.

3. \(9a + 3b + c = 2\) и \(|9a + 3b + c| = 2\):
В этом случае, значение выражения \(9a + 3b + c\) должно быть равно 2. Мы получили третье уравнение.

Таким образом, задача свелась к решению системы из трех уравнений. Проанализируем ее:

\[\begin{cases} a + b + c = 2 \\ 4a + 2b + c = 2 \\ 9a + 3b + c = 2 \end{cases}\]

Можно решить данную систему уравнений различными методами, например, методом подстановки или методом сложения/вычитания уравнений. Я воспользуюсь методом сложения/вычитания.

Вычтем из второго уравнения первое:
\[(4a + 2b + c) - (a + b + c) = (2) - (2)\]
\[3a + b = 0\]

Вычтем из третьего уравнения второе:
\[(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = (2) - (2)\]
\[5a + b = 0\]

Теперь у нас есть два уравнения:
\[3a + b = 0\]
\[5a + b = 0\]

Мы можем выразить \(b\) через \(a\) из первого уравнения:
\[b = -3a\]

Подставим данное выражение для \(b\) во второе уравнение:
\[5a + (-3a) = 0\]
\[2a = 0\]
\[a = 0\]

Теперь, зная значение \(a\), мы можем выразить \(b\):
\[b = -3a = -3(0) = 0\]

Таким образом, коэффициент \(a = 0\), а коэффициенты \(b\) и \(c\) равны 0.

Итак, коэффициенты искомого квадратного трехчлена \(f(x)\) равны:
\[a = 0, b = 0, c = 0\]

Такой квадратный трехчлен будет выглядеть следующим образом:
\[f(x) = 0x^2 + 0x + 0 = 0\]