1) Сколько различных комбинаций шаров одного цвета может достать мальчик из корзины, в которой находится 7 черных

Давайте рассмотрим каждую задачу по очереди:

1) Чтобы найти количество различных комбинаций черных или красных шаров, мы можем использовать комбинаторику. В данном случае, нам нужно выбрать определенное количество шаров из общего числа. Если мы выбираем только черные шары или только красные, то количество комбинаций определяется только числом шаров в соответствующем цвете.

- Если выбраны только черные шары, то количество комбинаций будет равно числу черных шаров, то есть 7.

- Если выбраны только красные шары, то количество комбинаций будет равно числу красных шаров, то есть 5.

Однако, если нужно выбрать комбинации, включающие как черные, так и красные шары, то мы должны использовать формулу для нахождения количества сочетаний без учета порядка.

Для этой задачи можно использовать формулу сочетаний:
\[C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}\]
где \(n\) - общее число элементов (шаров), а \(k\) - количество элементов (шаров) в комбинации, которые мы выбираем.

Таким образом, мы хотим найти количество комбинаций черных и красных шаров (как вместе, так и по отдельности), можно описать задачу следующим образом:
- Количество комбинаций только черных шаров: \(C(7, k)\), где \(k\) - количество черных шаров.
- Количество комбинаций только красных шаров: \(C(5, k)\), где \(k\) - количество красных шаров.
- Количество комбинаций черных и красных шаров вместе: сумма количества комбинаций для всех возможных сочетаний черных и красных шаров.

Давайте рассчитаем количество комбинаций для каждого случая:

- Количество комбинаций только черных шаров: \(C(7, 7)\)
Расчет:
\[C(7, 7) = \frac{{7!}}{{7! \cdot (7-7)!}} = \frac{{7!}}{{7! \cdot 0!}} = \frac{{7!}}{{7!}} = 1\]

- Количество комбинаций только красных шаров: \(C(5, 5)\)
Расчет:
\[C(5, 5) = \frac{{5!}}{{5! \cdot (5-5)!}} = \frac{{5!}}{{5! \cdot 0!}} = \frac{{5!}}{{5!}} = 1\]

- Количество комбинаций черных и красных шаров вместе:
Поскольку мы рассматриваем комбинации, включающие оба цвета шаров, нам нужно найти сумму количества комбинаций черных и красных шаров.
Давайте посчитаем количество комбинаций для каждой возможной комбинации черных и красных шаров: \(C(7, k) \cdot C(5, 12-k)\), где \(k\) - количество черных шаров в комбинации.
Давайте посчитаем количество комбинаций для каждой возможной комбинации:
- \(k = 0\): \(C(7, 0) \cdot C(5, 12-0)\)
- \(k = 1\): \(C(7, 1) \cdot C(5, 12-1)\)
- \(k = 2\): \(C(7, 2) \cdot C(5, 12-2)\)
- \(k = 3\): \(C(7, 3) \cdot C(5, 12-3)\)
- \(k = 4\): \(C(7, 4) \cdot C(5, 12-4)\)
- \(k = 5\): \(C(7, 5) \cdot C(5, 12-5)\)
- \(k = 6\): \(C(7, 6) \cdot C(5, 12-6)\)
- \(k = 7\): \(C(7, 7) \cdot C(5, 12-7)\)

Теперь, чтобы найти общее количество комбинаций, мы просто суммируем количество комбинаций для каждой возможной комбинации:
\[C(7, 0) \cdot C(5, 12-0) + C(7, 1) \cdot C(5, 12-1) + C(7, 2) \cdot C(5, 12-2) + C(7, 3) \cdot C(5, 12-3) + C(7, 4) \cdot C(5, 12-4) + C(7, 5) \cdot C(5, 12-5) + C(7, 6) \cdot C(5, 12-6) + C(7, 7) \cdot C(5, 12-7)\]

Теперь, чтобы найти ответ, нам нужно вычислить все эти значения и сложить их. Давайте вычислим количество комбинаций для каждой возможной комбинации черных и красных шаров и сложим их:

- \(C(7, 0) \cdot C(5, 12-0) = 1 \cdot 792 = 792\)
- \(C(7, 1) \cdot C(5, 12-1) = 7 \cdot 220 = 1540\)
- \(C(7, 2) \cdot C(5, 12-2) = 21 \cdot 56 = 1176\)
- \(C(7, 3) \cdot C(5, 12-3) = 35 \cdot 15 = 525\)
- \(C(7, 4) \cdot C(5, 12-4) = 35 \cdot 5 = 175\)
- \(C(7, 5) \cdot C(5, 12-5) = 21 \cdot 1 = 21\)
- \(C(7, 6) \cdot C(5, 12-6) = 7 \cdot 1 = 7\)
- \(C(7, 7) \cdot C(5, 12-7) = 1 \cdot 1 = 1\)

Теперь сложим все полученные значения:
\(792 + 1540 + 1176 + 525 + 175 + 21 + 7 + 1 = 4237\)

Таким образом, ответ на задачу составляет 4237 различных комбинаций шаров одного цвета, которые мальчик может достать из корзины.

Ответ на первую задачу: 4) 210.

2) Для вычисления длин диагоналей прямоугольного параллелепипеда с заданными размерами (2 дм, 3 дм и 6 дм) мы можем использовать теорему Пифагора для трехмерных фигур.

Теорема Пифагора для трехмерной фигуры гласит: длина диагонали в кубе равна квадратному корню из суммы квадратов длин всех его ребер.

В нашем случае, ребра параллелепипеда имеют длины 2 дм, 3 дм и 6 дм.

Давайте вычислим длины диагоналей:

- Диагональ, проходящая через вершины параллелепипеда, имеет длину, равную квадратному корню из суммы квадратов длин всех ребер: \(\sqrt{2^{2} + 3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \, \text{дм}\).

- Диагональ, проходящая через грани параллелепипеда, имеет длину, равную квадратному корню из суммы квадратов двух измерений: \(\sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\) дм.

- Диагональ, проходящая через грани параллелепипеда, имеет длину, равную квадратному корню из суммы квадратов двух других измерений: \(\sqrt{2^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\) дм.

Таким образом, ответ на вторую задачу: 2) 5 дм и 8 дм.

3) Чтобы найти количество двухзначных нечетных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 9, мы должны учесть следующие условия:

- Число должно быть двухзначным, поэтому первая цифра не может быть 0.
- Число должно быть нечетным, поэтому последняя цифра может быть только 1, 5 или 9.
- Мы можем выбрать любую цифру для первой позиции (кроме 0), и любую из трех нечетных цифр для второй позиции.

Таким образом, у нас есть 5 вариантов для первой цифры (2, 4, 5, 9), и 3 варианта для второй цифры (1, 5, 9).

Теперь мы можем вычислить количество двухзначных нечетных чисел, умножив количество вариантов для каждой позиции:

\(5 \cdot 3 = 15\).

Ответ на третью задачу: 1) 15.

Надеюсь, что ответы были понятны и подробны. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте знать. Я с удовольствием помогу вам.