Каковы характеристики уравнения квадратичной функции у=х^2-10х+24?

Характеристики уравнения квадратичной функции можно определить следующим образом:

1. Вершина параболы: для нахождения вершины параболы, воспользуемся формулой \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) коэффициенты уравнения квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \). В данном уравнении коэффициенты \( a = 1 \) и \( b = -10 \). Подставляя значения в формулу, получим \( x = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5 \). Таким образом, координаты вершины параболы будут \( (5, f(5)) \), где \( f(5) \) - значение функции в точке \( x = 5 \).

2. Направление открытия параболы: для определения направления открытия параболы, нужно посмотреть на коэффициент \( a \). Если \( a > 0 \), то парабола открывается вверх, если \( a < 0 \), то парабола открывается вниз. В данном уравнении коэффициент \( a = 1 \), что означает, что парабола открывается вверх.

3. Пересечение с осью ординат: для определения точки пересечения с осью ординат, нужно подставить \( x = 0 \) в уравнение функции \( y = ax^2 + bx + c \). В данном уравнении коэффициент \( c = 24 \), подставляя значения, получим \( y = 0^2 - 10 \cdot 0 + 24 = 24 \). Таким образом, точка пересечения с осью ординат будет \( (0, 24) \).

4. Найти корни уравнения: для нахождения корней уравнения, нужно решить квадратное уравнение \( y = 0 \) относительно \( x \). В данном случае, у нас уже задано уравнение квадратичной функции \( y = x^2 - 10x + 24 \). Для нахождения корней, нужно раскладывать уравнение на множители или использовать квадратное уравнение.

Применим квадратное уравнение, где корни \( x_1 \) и \( x_2 \) будут равны:
\[ x_1, x_2 =\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \].

Подставляя значения коэффициентов \( a = 1 \), \( b = -10 \) и \( c = 24 \), получаем:
\[ x_1, x_2 =\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24}}{2 \cdot 1} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 96}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{10 \pm 2}{2} \].

Таким образом, получаем корни уравнения \( x_1 = \frac{10 + 2}{2} = 6 \) и \( x_2 = \frac{10 - 2}{2} = 4 \).

Итак, характеристики данного уравнения квадратичной функции \( y = x^2 - 10x + 24 \) следующие:

- Вершина параболы: \( (5, f(5)) \) или \( (5, -1) \)
- Направление открытия параболы: вверх
- Пересечение с осью ординат: \( (0, 24) \)
- Корни уравнения: \( x_1 = 6 \) и \( x_2 = 4 \)