⦁ Каковы должны быть размеры участка прямоугольной формы, примыкающего к зданию, чтобы достигнуть наибольшей площади

Задача: Каковы должны быть размеры участка прямоугольной формы, примыкающего к зданию, чтобы достигнуть наибольшей площади при заданном периметре в 20 м?

Для решения этой задачи нам потребуется использовать производную функции. Перед тем, как приступить к решению, давайте сначала определим переменные.

Обозначим ширину участка как \(x\), а длину участка как \(y\). Поскольку участок прямоугольной формы примыкает к зданию, одна из его сторон будет равна \(y\), а другая - \(x\).

По условию задачи периметр участка равен 20 м, поэтому у нас есть следующее уравнение:

\[2x + y = 20.\]

Теперь мы можем выразить переменную \(y\) через \(x\):

\[y = 20 - 2x.\]

Также нам необходимо найти площадь участка. Площадь прямоугольника можно найти, умножив его ширину на длину:

\[S = xy.\]

Задача заключается в том, чтобы найти значения \(x\) и \(y\), которые максимизируют площадь \(S\).

Теперь давайте выразим площадь \(S\) через \(x\) следующим образом:

\[S = x(20 - 2x).\]

Для нахождения максимальной площади воспользуемся производной. Найдем производную \(S"(x)\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки:

\[S"(x) = 20 - 4x.\]
\[20 - 4x = 0.\]

Теперь решим это уравнение:

\[4x = 20.\]
\[x = 5.\]

Теперь мы можем найти значение \(y\) подставив \(x = 5\) в уравнение \(y = 20 - 2x\):

\[y = 20 - 2(5).\]
\[y = 20 - 10.\]
\[y = 10.\]

Таким образом, чтобы достичь наибольшей площади при заданном периметре в 20 м, размеры участка должны быть следующими: ширина \(x = 5\) м и длина \(y = 10\) м.

Ответ: Размеры участка прямоугольной формы, примыкающего к зданию, чтобы достигнуть наибольшей площади при заданном периметре в 20 м, равны 5 м (ширина) и 10 м (длина).

Что является темой исследования: использование производной для изучения и построения графика функции или определение минимального и максимального значения функции на отрезке?

Темой исследования является использование производной для изучения и построения графика функции. В данной задаче мы использовали производную, чтобы найти максимальное значение площади участка при заданном периметре. Производная функции позволяет нам оптимизировать различные параметры или находить экстремальные значения функций.