Какова вероятность, что две точки из пяти, брошенных на отрезке [0; 10], попадут в интервал [0; 2], одна точка попадет

Для решения этой задачи, мы можем использовать метод геометрической вероятности. Давайте разобьем отрезок [0; 10] на интервалы [0; 2], [2; 3] и [3; 10].

Итак, у нас есть 5 точек, и мы хотим определить вероятность того, что две из них попадут в интервал [0; 2], одна попадет в интервал [2; 3], и две попадут в интервал [3; 10].

Для поиска вероятности, мы должны знать какое количество исходов способных удовлетворить условиям задачи, и затем поделить его на общее количество возможных исходов.

Давайте посмотрим на каждое из условий отдельно:

1. Две точки попадают в интервал [0; 2]:
Есть 2 интервала подходящих для первой точки.
После выбора первой точки, остается 1 интервал для второй.
Таким образом, есть 2 возможных исхода для выбора двух точек в данном интервале.

2. Одна точка попадает в интервал [2; 3]:
Есть 1 интервал подходящий для выбора этой точки.

3. Две точки попадают в интервал [3; 10]:
Есть 2 интервала подходящих для первой точки.
После выбора первой точки, остается 1 интервал для второй.
Таким образом, есть 2 возможных исхода для выбора двух точек в данном интервале.

Теперь, общее количество исходов можно получить, выбрав 2 точки из 5 используя комбинаторику. Это число можно вычислить при помощи формулы для сочетаний, которая имеет вид:

\[
C(n, k) = \frac{{n!}}{{k! \cdot (n-k)!}}
\]

где \(n\) - количество объектов, из которых мы выбираем, а \(k\) - количество объектов, которые мы выбираем.

Используя эту формулу, число комбинаций для выбора 2 точек из 5 будет:

\[
C(5, 2) = \frac{{5!}}{{2! \cdot (5-2)!}} = \frac{{5!}}{{2! \cdot 3!}} = \frac{{5 \cdot 4 \cdot 3!}}{{2! \cdot 3!}} = 10
\]

Теперь мы можем вычислить исходные вероятности:

- Вероятность для двух точек попасть в интервал [0; 2]: \(P_1 = \frac{{2}}{{10}} = \frac{{1}}{{5}}\)
- Вероятность, что одна точка попадает в интервал [2; 3]: \(P_2 = \frac{{1}}{{10}}\)
- Вероятность для двух точек попасть в интервал [3; 10]: \(P_3 = \frac{{2}}{{10}} = \frac{{1}}{{5}}\)

Окончательная вероятность можно получить, перемножив вероятности каждого условия:

\[
P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{{1}}{{5}} \cdot \frac{{1}}{{10}} \cdot \frac{{1}}{{5}} = \frac{{1}}{{250}}
\]

Таким образом, вероятность того, что две точки из пяти, брошенных на отрезке [0; 10], попадут в интервал [0; 2], одна точка попадет в интервал [2; 3], и две точки попадут в интервал [3; 10], равна \(\frac{{1}}{{250}}\).