Каковы длины диагоналей равнобедренной трапеции АВСD, если боковая сторона СD равна 10, а основания равны 3 и 15? Ответ

Чтобы найти длину диагоналей равнобедренной трапеции ABCD, нам понадобится использовать теорему Пифагора. Давайте вначале обозначим длину оснований как AC = 3 и BD = 15, а сторону CD как a = 10.

Для начала, давайте найдем высоту треугольника ADC. Разделим треугольник на два прямоугольных треугольника. Пусть h обозначает высоту треугольника ADC. Тогда мы можем использовать основание одного из треугольников как сторону, а высоту в качестве другой стороны. Таким образом, у нас есть два треугольника - ADD и DCC.

Применим теорему Пифагора для треугольника ADD:
\[AD^2 = h^2 + \left(\frac{AC}{2}\right)^2\]

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника DCC:
\[DC^2 = h^2 + \left(\frac{BD}{2} - a\right)^2\]

Мы можем решить эти два уравнения, чтобы найти h.

Для первого уравнения:
\[AD^2 = h^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2\]

Для второго уравнения:
\[10^2 = h^2 + \left(\frac{15}{2} - 10\right)^2\]

Теперь решим эти уравнения. Высота h равна:

\[h = \sqrt{AD^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2}\]

\[h = \sqrt{100 - \frac{9}{4}}\]

\[h = \sqrt{\frac{391}{4}}\]

Теперь, используя найденное значение высоты треугольника, мы можем найти длину диагонали. Диагонали можно найти, используя теорему Пифагора:

Для диагонали AC:
\[AC^2 = h^2 + \left(\frac{AC}{2}\right)^2\]

Подставив значения:
\[AC = \sqrt{\left(\sqrt{\frac{391}{4}}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2}\]

\[AC = \sqrt{\frac{391}{4} + \frac{9}{4}}\]

Для диагонали BD:
\[BD^2 = h^2 + \left(\frac{BD}{2}\right)^2\]

Подставив значения:
\[BD = \sqrt{\left(\sqrt{\frac{391}{4}}\right)^2 + \left(\frac{15}{2}\right)^2}\]

\[BD = \sqrt{\frac{391}{4} + \frac{225}{4}}\]

Теперь округлим ответы до десятых:

Длина диагонали AC равна: \(\sqrt{\frac{391}{4} + \frac{9}{4}} \approx 19.9\)

Длина диагонали BD равна: \(\sqrt{\frac{391}{4} + \frac{225}{4}} \approx 23.4\)

Таким образом, длины диагоналей равнобедренной трапеции ABCD равны примерно 19.9 и 23.4 соответственно.