Каковы длины диагоналей параллелограмма с сторонами 9 см и 6 см, если угол между ними равен 120°?

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Давайте распишем все шаги подробно.

1. Нам даны стороны параллелограмма: одна сторона равна 9 см, а другая сторона равна 6 см.

2. Нам также известен угол между этими сторонами, который составляет 120°.

3. Задача состоит в том, чтобы найти длины диагоналей параллелограмма. Обозначим эти диагонали буквами d1 и d2.

4. Для начала, давайте найдем диагональ d1. Для этого мы можем использовать теорему косинусов:

\[d_{1}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha)\],

где a и b - стороны параллелограмма, а \(\alpha\) - угол между ними.

Подставляем известные значения:

\[d_{1}^{2} = 9^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \cos(120°)\].

5. Вычисляем значение косинуса угла 120°. Косинус угла 120° равен -0.5 по таблице значений тригонометрических функций. Поэтому формула упрощается:

\[d_{1}^{2} = 81 + 36 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot (-0.5) = 81 + 36 + 54 = 171\].

6. Теперь возьмем квадратный корень из обоих частей уравнения, чтобы найти длину диагонали d1:

\[d_{1} = \sqrt{171} \approx 13.08 \text{ см}\].

7. Точно так же, мы можем найти длину диагонали d2, используя ту же теорему косинусов:

\[d_{2}^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos(\beta)\],

где a и b - стороны параллелограмма, а \(\beta\) - угол между ними (в данной задаче \(\beta = 60°\), так как сумма углов параллелограмма равна 360°).

\[d_{2}^{2} = 9^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \cos(60°)\].

8. Вычисляем значение косинуса угла 60°. Косинус угла 60° равен 0.5 по таблице значений тригонометрических функций. Поэтому формула упрощается:

\[d_{2}^{2} = 81 + 36 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 0.5 = 81 + 36 - 54 = 63\].

9. Теперь находим квадратный корень из обоих частей уравнения, чтобы найти длину диагонали d2:

\[d_{2} = \sqrt{63} \approx 7.94 \text{ см}\].

Таким образом, длина диагонали d1 составляет примерно 13.08 см, а длина диагонали d2 - примерно 7.94 см.