Каковы длины диагоналей параллелограмма, если стороны равны 9 см и 6 см, а угол между ними равен 120°? Диагонали

Конечно! Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о свойствах параллелограммов и тригонометрии. Давайте начнем с определения параллелограмма.

Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны и равны по длине. Также, в параллелограмме, противоположные углы равны.

В данной задаче, у нас есть параллелограмм с двумя сторонами длиной 9 см и 6 см, и углом между ними равным 120°. Давайте обозначим сторону 9 см как AB, а сторону 6 см как BC.

Сначала, найдем длину диагонали AC. Для этого, мы можем использовать теорему косинусов, которая гласит:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)\]

Подставим известные значения в эту формулу:

\[AC^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \cos(120°)\]

Здесь мы используем косинус угла 120°, который равен -0.5 (в радианах). Продолжим вычисления:

\[AC^2 = 81 + 36 - 108 \cdot (-0.5)\]
\[AC^2 = 81 + 36 + 54\]
\[AC^2 = 171\]

Найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[AC = \sqrt{171}\]
\[AC \approx 13.08\, \text{см}\]

Теперь, найдем длину диагонали BD. Мы можем использовать ту же теорему косинусов, но на этот раз применим ее к треугольнику BCD. Так как BD параллельна AC, то угол между диагоналями равен углу ABC (120°). Подставим известные значения:

\[BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)\]

Мы знаем, что BC = 6 см. Осталось найти CD. У нас есть параллелограмм, поэтому CD = AB = 9 см. Подставим значения:

\[BD^2 = 6^2 + 9^2 - 2 \cdot 6 \cdot 9 \cdot \cos(120°)\]
\[BD^2 = 36 + 81 - 108 \cdot (-0.5)\]
\[BD^2 = 36 + 81 + 54\]
\[BD^2 = 171\]

Найдем квадратный корень из обеих сторон уравнения:

\[BD = \sqrt{171}\]
\[BD \approx 13.08\, \text{см}\]

Таким образом, длины диагоналей AC и BD параллелограмма равны приблизительно 13.08 см.