1. Який об єм піраміди з основою у вигляді прямокутника зі сторонами 7 і 11 см і висотою 9 см? А) 486 см3 ; Б

1. Щоб знайти об"єм піраміди з прямокутною основою, потрібно помножити площу основи на висоту і розділити на 3. Площа прямокутної основи рівна добутку його сторін (7 см і 11 см), тому \( S_{\text{осн}} = 7 \cdot 11 = 77 \, \text{см}^2 \). За формулою об"єму піраміди \( V = \frac{S_{\text{осн}} \cdot h}{3} \), вставляємо відомі значення \( V = \frac{77 \, \text{см}^2 \cdot 9 \, \text{см}}{3} \), і отримуємо \( V = 231 \, \text{см}^3 \). Отже, правильний варіант відповіді - Г) 231 см³.

2. Щоб знайти площу поверхні кулі, потрібно помножити площу одного круга на два. Площа круга \( S_{\text{круга}} = \pi \cdot r^2 \), де \( r \) - радіус кулі. У даному випадку, діаметр кулі дорівнює 6 см, тому радіус \( r = \frac{6 \, \text{см}}{2} = 3 \, \text{см} \). Підставляємо значення радіуса до формули \( S_{\text{круга}} = \pi \cdot 3^2 \). Отримуємо площу одного круга \( S_{\text{круга}} = 9 \pi \, \text{см}^2 \). Тому площа поверхні кулі \( S_{\text{поверхні}} = 2 \cdot 9 \pi \, \text{см}^2 = 18 \pi \, \text{см}^2 \). Отже, правильний варіант відповіді - А) 18π см2.

3. Щоб знайти площу бічної поверхні конуса, потрібно обчислити площу кривого бічного поверхні. Формула для цього \( S_{\text{біч}} = \pi \cdot r \cdot l \), де \( r \) - радіус основи конуса, \( l \) - образує гіпотенузу прямокутного трикутника разом з радіусом та висотою конуса. Гіпотенуза \( l \) одержуємо з теореми Піфагора: \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \), де \( h \) - висота конуса. Для нашої задачі діаметр основи складає 12 см, тобто радіус \( r = \frac{12 \, \text{см}}{2} = 6 \, \text{см} \). І підставляємо це значення в формулу гіпотенузи \( l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \). Тепер, обчислюємо площу бічної поверхні \( S_{\text{біч}} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi \, \text{см}^2 \). Отже, правильний варіант відповіді - Б) 60π см2.

4. Площа повної поверхні циліндра складається з площі двох кругів основи та площі бокової поверхні. Площа круга, як і у попередньому завданні, дорівнює \( \pi \cdot r^2 \), а площа бокової поверхні \( 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \), де \( r \) - радіус основи циліндра, \( h \) - висота циліндра. В даній задачі ми маємо його діагональ осьового перетину, яка утворює кут 60° з площиною основи. За теоремою косинусів, можна обчислити радіус \( r \) за формулою \( r = \frac{d}{2\cos{\frac{\pi}{3}}} \), де \( d \) - діагональ осьового перерізу циліндра. Для нашої задачі, знаючи діагональ, підставляємо в формулу і отримуємо \( r = \frac{d}{2\cos{60^\circ}} = \frac{d}{2\cdot \frac{1}{2}} = d \). Оскільки \( r = d \), то значення площі обох кругів дорівнює \( 2 \pi r^2 = 2 \pi \cdot d^2 \). Також в задачі сказано, що діагональ утворює кут 60°. Це означає, що бокова поверхня циліндра -- правильний шестикутник. Площі шестикутника можна обчислити за допомогою формули \( P_{\text{шестикутника}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot a^2}{2} \), де \( a \) - довжина сторони шестикутника, яка дорівнює радіусові \(\frac{d}{2}\). Підставляємо в формулу, отримуємо \( P_{\text{шестикутника}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3} \cdot d^2}{8} \). Оскільки площа бокової поверхні циліндра складається з площі шестикутника, то \( S_{\text{бок}} = 2 \cdot P_{\text{шестикутника}} = \frac{3\sqrt{3} \cdot d^2}{4} \). Отже, площа повної поверхні циліндра \( S_{\text{повна}} = 2 \pi \cdot d^2 + \frac{3\sqrt{3} \cdot d^2}{4} \).