Каковы длины диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность с радиусом 50 см, если два его угла равны 45° и 120°?

Для начала, давайте разберемся с данным четырехугольником, вписанным в окружность с радиусом 50 см.

Поскольку четырехугольник вписан в окружность, каждая из его диагоналей является диаметром окружности. Следовательно, длина каждой диагонали равна удвоенному радиусу окружности.

Теперь нам нужно найти длины диагоналей в зависимости от данных углов четырехугольника.

Пусть углы четырехугольника равны \( 45^\circ \) и \( 120^\circ \).

Рассмотрим сумму углов четырехугольника:

\[
45^\circ + 45^\circ + 120^\circ + x = 360^\circ,
\]

где \( x \) - четвертый угол.

Отсюда находим:

\[
x = 150^\circ.
\]

Теперь, диагонали четырехугольника делятся на две части в точке их пересечения. Эти части образуют углы между диагоналями.

Поскольку центральный угол в два раза больше угла, соответствующего поверхности сегмента, образованного диагональю и хордой окружности, мы можем найти углы пониже:

Для угла \( 45^\circ \):

\[
\frac{45^\circ}{2} = 22.5^\circ
\]

Для угла \( 120^\circ \):

\[
\frac{120^\circ}{2} = 60^\circ
\]

Теперь мы можем использовать формулу косинуса для нахождения длины диагонали:

\[
l = 2R \cdot \cos(\alpha),
\]

где:
\( l \) - длина диагонали,
\( R \) - радиус окружности,
\( \alpha \) - угол между диагональю и хордой.

1. Для угла \( 45^\circ \):

\[
l = 2 \cdot 50 \cdot \cos(22.5^\circ) = 2 \cdot 50 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)
\]

\[
l \approx 92.387 \, \text{см}
\]

2. Для угла \( 120^\circ \):

\[
l = 2 \cdot 50 \cdot \cos(60^\circ)
\]

\[
l = 2 \cdot 50 \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
l = 50 \, \text{см}
\]

Таким образом, длины диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность с радиусом 50 см при углах 45° и 120° равны примерно 92.387 см и 50 см соответственно.