Каковы длины бокового ребра и стороны основания прямоугольного параллелепипеда, если известно, что его диагональ

Для начала, давайте представим себе данный прямоугольный параллелепипед. У нас есть основание, состоящее из двух сторон, и боковая поверхность, состоящая из четырех боковых ребер.

Ответ на эту задачу можно получить с использованием геометрических свойств треугольника. Для начала рассмотрим правильный треугольник, образованный диагональю параллелепипеда и стороной основания. Из условия задачи, треугольник имеет угол 60 градусов.

\[\text{Угол между диагональю и основанием } = 60^\circ \]

Так как известно, что треугольник является правильным, то все его стороны равны. Представим диагональ, основание и боковую сторону треугольника следующим образом:

\[
\begin{matrix}
& \text{Основание} & \\
&\quad\quad \text{---\qquad---}\\
&\quad / \qquad / \quad \\
& / \quad / \quad / \quad \\
&/ \quad / \quad / \quad \\
\text{Боковая \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad} \text{Диагональ}
\end{matrix}
\]

Теперь рассмотрим треугольник, образованный боковой стороной параллелепипеда и диагональю. Этот треугольник также является прямоугольным, так как основание параллелепипеда является прямоугольником.

Обозначим длину бокового ребра как \( a \). Тогда длина диагонали будет равна \( \sqrt{2}a \), так как диагональ параллелепипеда равна диагонали прямоугольного треугольника.

Теперь воспользуемся тригонометрическими соотношениями, чтобы найти длину бокового ребра и стороны основания. В прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов, гипотенуза равна диагонали, а одна катет равна \( a \).

Применяя свойства тригонометрии, имеем:
\[
\cos 60^\circ = \frac{a}{\sqrt{2}a}
\]

\[
\frac{1}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}a}
\]

\[
\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]

Таким образом, получаем:
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}a}
\]

\[
1 = a
\]

Таким образом, длина бокового ребра и сторона основания прямоугольного параллелепипеда равны единице.

Теперь рассчитаем площадь боковой поверхности параллелепипеда. У нас есть 4 боковые стороны, каждая из которых имеет длину 1. Таким образом, площадь одной боковой поверхности составляет \(1 \times 1 = 1\) квадратный единица. Поскольку у нас 4 таких стороны, общая площадь боковой поверхности составляет \(4 \times 1 = 4\) квадратных единиц.

Чтобы найти полную поверхность параллелепипеда, нужно также учесть основание. Площадь одного основания равна \(1 \times 1 = 1\) квадратная единица. Так как у нас два основания, общая площадь оснований составляет \(2 \times 1 = 2\) квадратных единиц. Добавляя это к площади боковой поверхности, получаем общую площадь поверхности параллелепипеда, равную \(4 + 2 = 6\) квадратных единиц.

Итак, ответ состоит в следующем:
- Длина бокового ребра и сторона основания прямоугольного параллелепипеда равны 1.
- Площадь боковой поверхности параллелепипеда равна 4 квадратных единиц.
- Полная поверхность параллелепипеда составляет 6 квадратных единиц.