Каковы будут скорость и ускорение точки после прохождения ею трех полных оборотов по окружности радиусом 0.8 метра

Чтобы решить эту задачу, нам нужно использовать соотношения между линейной скоростью, угловой скоростью и радиусом окружности.

Известно, что линейная скорость \(v\) связана с угловой скоростью \(\omega\) и радиусом окружности \(r\) следующим образом:

\[v = r \cdot \omega\]

Мы также знаем, что угловое ускорение \(\alpha\) связано с угловой скоростью \(\omega\) следующим образом:

\(\alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}}\)

Так как вам дано угловое ускорение \(\alpha = 0.2\) рад/с², мы можем его использовать, чтобы найти угловую скорость \(\omega\):

\(\alpha = \frac{{d\omega}}{{dt}} \Rightarrow 0.2 = \frac{{d\omega}}{{dt}}\)

Для упрощения обозначений, здесь используется \(\frac{{d\omega}}{{dt}}\) для обозначения производной по времени угловой скорости.

Учитывая, что угловое ускорение постоянно, значит \(\frac{{d\omega}}{{dt}}\) является постоянной производной, интегрируем ее:

\(\int_{}^{} d\omega = \int_{}^{} 0.2 \, dt \Rightarrow \omega = 0.2t + C\)

где \(C\) - это константа интегрирования. Значение \(C\) можно найти, используя начальное условие \(\omega(t=0) = 0\):

\(\omega(t=0) = 0.2 \cdot 0 + C \Rightarrow C = 0\)

Таким образом, у нас получается:

\(\omega = 0.2t\)

Теперь мы можем найти линейную скорость \(v\) после трех полных оборотов по окружности радиусом 0.8 метра. Поскольку один полный оборот равен \(2\pi\) радиан, для трех полных оборотов угол будет равен \(6\pi\) радиан. Радиус окружности \(r = 0.8\) метра.

Используем наше первоначальное уравнение для нахождения линейной скорости \(v\):

\[v = r \cdot \omega\]

\[v = 0.8 \cdot (0.2t)\]

\[v = 0.16t\]

Теперь мы можем найти линейную скорость \(v\) после трех полных оборотов.

Подставим угол \(6\pi\) в формулу:

\[v = 0.16 \cdot 6\pi\]

\[v \approx 3.01\, \text{м/с}\]

Таким образом, скорость точки после прохождения ею трех полных оборотов по окружности радиусом 0.8 метра составляет примерно 3.01 м/с.

Теперь рассмотрим ускорение. Ускорение \(a\) в данном случае равно изменению линейной скорости \(v\) по времени \(t\):

\[a = \frac{{dv}}{{dt}}\]

Снова используем наше уравнение для линейной скорости \(v = 0.16t\):

\[a = \frac{{d(0.16t)}}{{dt}}\]

\[a = 0.16\]

Таким образом, ускорение точки после прохождения ею трех полных оборотов по окружности радиусом 0.8 метра составляет 0.16 м/с².