Каковы боковая поверхность и объем конуса при радиусе основания равном 3 √2 см и угле наклона образующей к плоскости

Чтобы найти боковую поверхность и объем конуса, нам потребуется знать его радиус основания и угол наклона образующей к плоскости основания. Давайте начнем с рассчета боковой поверхности.

Боковая поверхность конуса представляет собой спиральную поверхность, образованную окружностью, которую получаем при развертывании боковой поверхности конуса. Дано, что угол наклона образующей к плоскости основания равен 45 градусов, а радиус основания равен \(3\sqrt{2}\) см.

Для нахождения боковой поверхности конуса нам нужно вычислить длину образующей. Образующая - это отрезок, соединяющий вершину конуса и точку на окружности основания. Зная радиус основания, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины образующей.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае, образующая является гипотенузой, а радиус основания - это один из катетов. Пусть с - длина образующей, а r - радиус основания. Тогда мы можем записать уравнение в следующем виде:

\[c^2 = r^2 + h^2\]

Зная, что угол наклона образующей равен 45 градусам, мы можем использовать разложение по геометрическим функциям и получить следующее:

\[h = r \cdot \sin 45^\circ\]

Так как \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), мы можем записать:

\[h = r \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Подставляем значение радиуса:

\[h = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[h = 3\]

Теперь мы можем решить уравнение для длины образующей:

\[c^2 = (3\sqrt{2})^2 + 3^2\]

\[c^2 = 18 + 9\]

\[c^2 = 27\]

\[c = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}\]

Таким образом, длина образующей равна \(3\sqrt{3}\) см.

Теперь, чтобы найти боковую поверхность конуса, мы можем использовать формулу:

\[S = \pi \cdot r \cdot c\]

Подставляем значения радиуса и длины образующей:

\[S = \pi \cdot 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3}\]

\[S = 9\pi\sqrt{6}\]

Таким образом, боковая поверхность конуса равна \(9\pi\sqrt{6}\) квадратных сантиметров.

Теперь рассмотрим вычисление объема конуса. Формула для объема конуса имеет следующий вид:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\]

Подставляем значения радиуса и высоты:

\[V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot (3\sqrt{2})^2 \cdot 3\]

\[V = 9\pi\sqrt{2}\]

Таким образом, объем конуса равен \(9\pi\sqrt{2}\) кубических сантиметров.

Вот и все! Мы нашли боковую поверхность конуса - \(9\pi\sqrt{6}\) квадратных сантиметров и его объем - \(9\pi\sqrt{2}\) кубических сантиметров.