Каково значение выражения: логарифм от 27, возведенный в степень

Для начала, давайте разберемся с определениями и свойствами, чтобы понять, что такое логарифм и как возводить его в степень.

Логарифм - это обратная операция к возведению числа в степень. Пусть \(b\) - положительное число, а \(x\) - любое число. Тогда логарифмом \(x\) по основанию \(b\) называется такое число \(y\), что \(b^y = x\). Обозначается это как \(\log_bx\).

Теперь давайте применим это к нашей задаче. У нас есть выражение: \(\log(27)^n\), где \(n\) - степень, в которую нужно возвести логарифм от 27.

Логарифм от 27 по основанию, которое не указано, но по умолчанию считается равным 10 (логарифмическая система счисления), можно записать как \(\log_{10}27\) или просто \(\log27\).

Чтобы получить значение выражения \(\log27^n\), мы применим следующее свойство логарифма: \((\log_bx)^n = \log_b(x^n)\). С помощью этого свойства мы можем переписать наше выражение, как \(\log(27^n)\).

Теперь, чтобы решить данную задачу, необходимо вычислить \(\log(27^n)\). Поскольку основание логарифма равно 10, можно записать \(\log(27^n) = \log_{10}(27^n)\).

Так как \(\log_{10}(27^n)\) представляет собой логарифм от числа 27 (полученного возведением 27 в степень \(n\)) по основанию 10, мы должны найти такое число \(y\), для которого \(10^y = 27^n\).

Для этого мы можем воспользоваться свойством эквивалентности операций возведения в степень и извлечения корня: \((a^b)^c = a^{b \cdot c}\). Применяя это свойство, мы можем записать \(27^n\) как \((3^3)^n\), и затем упростить это выражение до \(3^{3n}\).

Таким образом, значение выражения \(\log27^n\) будет равно \(3n\).

Итак, ответ на задачу: значение выражения \(\log(27)^n\) равно \(3n\).