Каково значение величины, обозначенной *, прикрепленной к пружине жесткостью k и грузом массой m (см. рисунок)?

Чтобы решить данную задачу, нам необходимо использовать закон Гука для пружины и формулу частоты колебаний.

1. Закон Гука для пружины гласит, что сила \(F\) обратно пропорциональна смещению \(x\), и прямо пропорциональна жесткости пружины \(k\). Формула этого закона выглядит следующим образом:

\[F = -kx\]

Здесь знак минус указывает на то, что сила направлена против смещения.

2. Для груза, подвешенного на пружине, уравновешивающая сила равна силе упругости пружины. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[mg = kx\]

Где \(m\) - масса груза, \(g\) - ускорение свободного падения, \(x\) - смещение груза от его положения равновесия.

3. Частота колебаний определяется формулой:

\[f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Где \(f\) - частота колебаний, \(k\) - жесткость пружины, \(m\) - масса груза.

Теперь рассмотрим первую часть задачи, нас просят найти значение величины, обозначенной символом \(*\}, связанную с пружиной жесткостью \(k\) и грузом массой \(m\). Судя по рисунку, символ \(*\} обозначает смещение груза от положения равновесия.

Из уравнения \(mg = kx\) мы можем найти значение смещения \(x\), подставив значения массы груза \(m\) и жесткости пружины \(k\):

\[x = \frac{mg}{k}\]

Теперь перейдем ко второй части задачи. Нас просят определить, как изменится частота колебаний, если масса груза увеличится в \(\alpha\) раз, а жесткость пружины - в \(\beta\) раз.

Используя формулу для частоты колебаний, мы можем записать:

\[f" = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k"}{m"}}\]

Где \(f"\) - новая частота колебаний, \(k"\) - новая жесткость пружины, \(m"\) - новая масса груза.

Из условия задачи мы знаем, что масса груза увеличена в \(\alpha\) раз, поэтому \(m" = \alpha m\). Также, жесткость пружины увеличена в \(\beta\) раз, поэтому \(k" = \beta k\).

Подставляя эти значения в формулу для новой частоты колебаний, получаем:

\[f" = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\beta k}{\alpha m}}\]

Сокращая общие множители, получим:

\[f" = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\sqrt{\frac{k}{m}}\]

Мы видим, что новая частота колебаний \(f"\) равна исходной частоте \(f\), умноженной на \(\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\).

Таким образом, заключаем, что частота колебаний изменится в \(\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\) раз при условии, что масса груза увеличится в \(\alpha\) раз, а жесткость пружины - в \(\beta\) раз.