Каково значение угла B в треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, sinB равен Корень 2/3 и BC равно Корень

Давайте решим эту задачу пошагово.

У нас есть треугольник ABC, в котором угол C равен 90 градусов. Мы хотим найти значение угла B.

Первый шаг состоит в том, чтобы использовать информацию о синусе угла B. Мы знаем, что sinB = Корень 2/3.

Определение синуса гласит, что синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

В нашем случае, противолежащим катетом является сторона AB (сторона против угла B), а гипотенузой является сторона AC. Мы знаем, что угол C равен 90 градусов, поэтому сторона AC является гипотенузой.

Теперь давайте найдем противолежащий катет AB. У нас есть информация о стороне BC, которая равна Корень 2.

Для нахождения противолежащего катета AB мы можем использовать теорему Пифагора. В прямоугольном треугольнике с катетами BC и AB и гипотенузой AC, теорема Пифагора гласит, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Исходя из этого, мы можем записать уравнение:

\[BC^2 + AB^2 = AC^2\]

Заменяя известные значения, у нас получается:

\[(\sqrt{2})^2 + AB^2 = AC^2\]
\[2 + AB^2 = AC^2\]

Теперь, используя информацию о синусе угла B, мы знаем, что отношение противолежащего катета к гипотенузе равно Корень 2/3.

Заменив противолежащий катет AB на значение, которое мы ищем, и гипотенузу AC на известное значение, мы получаем:

\[\frac{AB}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{3}\]

\[\frac{AB}{\sqrt{2 + AB^2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}\]

Теперь давайте решим это уравнение.

Умножим обе части уравнения на \(\sqrt{2 + AB^2}\):

\[AB = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \sqrt{2 + AB^2}\]

Теперь возведем обе части в квадрат:

\[AB^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \sqrt{2 + AB^2}\right)^2\]

Распишем правую часть:

\[AB^2 = \frac{2}{9} \cdot (2 + AB^2)\]

Раскроем скобки:

\[AB^2 = \frac{4}{9} + \frac{2}{9} \cdot AB^2\]

Перенесем все члены с AB^2 на одну сторону:

\[AB^2 - \frac{2}{9} \cdot AB^2 = \frac{4}{9}\]

\[AB^2 \left(1 - \frac{2}{9}\right) = \frac{4}{9}\]

\[\frac{7}{9} \cdot AB^2 = \frac{4}{9}\]

Делим обе части на \(\frac{7}{9}\):

\[AB^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{7}\]

\[AB^2 = \frac{4}{7}\]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[AB = \sqrt{\frac{4}{7}}\]

Таким образом, мы нашли значение стороны AB, которая является противолежащим катетом угла B.

Теперь, чтобы найти значение угла B, нам нужно использовать обратную функцию синуса (arcsin), которая позволяет нам найти угол, зная значение синуса.

Таким образом, у нас есть:

\[\sin B = \frac{\sqrt{2}}{3}\]

\[B = \arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\]

Вычисляя это значение, мы получим ответ на задачу. Это примерно равно 0.7297 радиан или около 41.81 градусов.

Таким образом, значение угла B в треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, sinB равно Корень 2/3, равно примерно 41.81 градусов.