Каково значение тангенса угла (ABC, AB1C), где ABC и AB1C - прямые призмы со сторонами АА1 = 12 см, АС = 4

Для начала, давайте рассмотрим структуру данных задачи. У нас есть две прямые призмы ABC и AB1C с указанными сторонами и площадью треугольника ABC. Мы хотим найти значение тангенса угла ABC и AB1C.

Для решения этой задачи, нам потребуется некоторые знания об углах и тригонометрических функциях. Тангенс угла можно определить, используя соотношение между противоположным и прилежащим катетами в прямоугольном треугольнике.

Давайте начнем с нахождения значения угла ABC. Мы знаем, что стороны прямой призмы ABC равны АА1 = 12 см и АС = 4 см. Построим треугольник ABC, используя эти данные.

$$\begin{array}{|llc|}\hline A& B& C\\ \hline\end{array}$$

Мы также знаем, что площадь треугольника ABC равна 7.5 см^2. Мы можем использовать формулу для нахождения площади треугольника:

$$S=\frac{1}{2}\times AB\times AC\times \sin (\mathrm{\angle }BAC)$$

Где AB и AC - стороны треугольника, а $\mathrm{\angle }BAC$ - угол между этими сторонами.

Подставим известные значения:

$$7.5=\frac{1}{2}\times 12\times 4\times \sin (\mathrm{\angle }BAC)$$

Теперь давайте решим уравнение относительно $\sin (\mathrm{\angle }BAC)$:

$$7.5=24\times \sin (\mathrm{\angle }BAC)$$

$$\sin (\mathrm{\angle }BAC)=\frac{7.5}{24}$$

Теперь, чтобы найти значение угла $\mathrm{\angle }ABC$ в радианах, мы можем использовать обратную функцию синуса:

$$\mathrm{\angle }ABC={\sin }^{-1}\left(\frac{7.5}{24}\right)$$

Округлим значение $\mathrm{\angle }ABC$ до двух десятичных знаков для удобства:

$$\mathrm{\angle }ABC\approx 0.328$$

Теперь, чтобы найти значение тангенса угла ABC, мы можем использовать формулу:

$$\tan (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{\sin (\mathrm{\angle }ABC)}{\cos (\mathrm{\angle }ABC)}$$

Где $\cos (\mathrm{\angle }ABC)$ - это косинус угла ABC.

Но, у нас нет прямой информации о $\cos (\mathrm{\angle }ABC)$. Однако, мы можем использовать тригонометрическое тождество:

$${\sin }^2(\mathrm{\angle }ABC)+{\cos }^2(\mathrm{\angle }ABC)=1$$

Зная значение $\sin (\mathrm{\angle }ABC)$, мы можем решить это уравнение относительно $\cos (\mathrm{\angle }ABC)$:

$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\sqrt{1-{\sin }^2(\mathrm{\angle }ABC)}$$

Подставьте значение $\sin (\mathrm{\angle }ABC)$:

$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)=\sqrt{1-{\left(\frac{7.5}{24}\right)}^2}$$

Округлим значение $\cos (\mathrm{\angle }ABC)$ до двух десятичных знаков:

$$\cos (\mathrm{\angle }ABC)\approx 0.926$$

Теперь мы можем посчитать значение $\tan (\mathrm{\angle }ABC)$ по формуле:

$$\tan (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{\sin (\mathrm{\angle }ABC)}{\cos (\mathrm{\angle }ABC)}$$

Подставим значения:

$$\tan (\mathrm{\angle }ABC)=\frac{\frac{7.5}{24}}{0.926}\approx 0.338$$

Таким образом, значение тангенса угла ABC равно 0.338.

Аналогично, вы можете найти значение тангенса угла AB1C, используя те же самые шаги и известные значения для прямой призмы AB1C.