Каково значение суммы длин катетов прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5/4

Для начала, давайте вспомним определения медианы и высоты в прямоугольном треугольнике. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину прямого угла с серединой гипотенузы, а высота — это отрезок, соединяющий вершину прямого угла с основанием треугольника (гипотенузой).

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через \(a\) и \(b\). Тогда, согласно теореме Пифагора, гипотенуза будет равна \(\sqrt{a^2 + b^2}\).

Теперь рассмотрим данную нам информацию. Мы знаем, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна \(\frac{5}{4}\), а высота, опущенная на гипотенузу, равна \(\frac{6}{5}\).

Давайте для начала найдем гипотенузу. Медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на две равные части, поэтому получаем уравнение

\[\frac{5}{4}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}\]

Для удобства дальнейших вычислений возведем обе части уравнения в квадрат:

\[\left(\frac{5}{4}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}\right)^2\]

Раскроем скобки:

\[\frac{25}{16}=\frac{1}{4}(a^2 + b^2)\]

Перемножим обе части уравнения на 4:

\[25=\frac{1}{4}(4a^2 + 4b^2)\]

\[25=a^2 + b^2\]

Теперь найдем площадь прямоугольного треугольника через высоту. Площадь треугольника можно найти, умножив половину основания на высоту:

\[\frac{1}{2}ab=\frac{6}{5}\]

Умножим обе части уравнения на \(\frac{2}{a}\):

\[b=\frac{12}{5a}\]

Теперь мы знаем, что \(b=\frac{12}{5a}\). Подставим это значение в уравнение \(25=a^2 + b^2\):

\[25=a^2 + \left(\frac{12}{5a}\right)^2\]

Упростим правую часть уравнения:

\[25=a^2 + \frac{144}{25a^2}\]

Умножим обе части уравнения на \(25a^2\):

\[25a^2(a^2) + 144=25(a^2) + 144\]

\[25a^4 + 144=25a^2 + 144\]

\[25a^4 - 25a^2=0\]

Вынесем общий множитель за скобку:

\[25a^2(a^2 - 1)=0\]

Теперь решим полученное уравнение. Оно имеет два решения: \(a=0\) и \(a=1\). Однако, \(a=0\) не подходит, так как это противоречит определению прямоугольного треугольника.

У нас остается значение \(a=1\). Подставим его в уравнение \(b=\frac{12}{5a}\), чтобы найти значение \(b\):

\[b=\frac{12}{5 \cdot 1}=\frac{12}{5}\]

Итак, мы получили, что значение катетов прямоугольного треугольника равно \(a=1\) и \(b=\frac{12}{5}\).

Теперь найдем сумму длин катетов:

\[a + b = 1 + \frac{12}{5} = \frac{5 + 12}{5} = \frac{17}{5}\]

Таким образом, значение суммы длин катетов прямоугольного треугольника равно \(\frac{17}{5}\).