Каково значение следующего выражения: 14(sin² 79° - cos² 79°)/ cos158° -51/sin² 80° + sin² 170°?

Давайте разберемся с данной задачей. Начнем с пошагового решения.

Шаг 1: Подставим значения trigonometric functions в выражение.

Подставляем:
\[14(\sin^2 79^\circ - \cos^2 79^\circ)/\cos 158^\circ - 51/\sin^2 80^\circ + \sin^2 170^\circ \]

Теперь посмотрим значение каждого выражения по отдельности.

Шаг 2: Рассмотрим выражение \(\sin^2 79^\circ - \cos^2 79^\circ\).

Здесь мы можем использовать тригонометрическую тождество:
\(\sin^2 \theta - \cos^2 \theta = \sin 2\theta\), где \(2\theta = 79^\circ + 79^\circ = 158^\circ\).

Таким образом, первое выражение превратится в \(\sin 158^\circ\).

Шаг 3: Подставим значение второго и третьего выражения.

\( \cos 158^\circ - 51/\sin^2 80^\circ + \sin^2 170^\circ \)

Шаг 4: Заметим, что \(\sin 170^\circ = \sin (180^\circ - 10^\circ)\), что равно \(\sin 10^\circ\).

Все остальные значения, такие как \(\cos 158^\circ\) и \(\sin^2 80^\circ\), остаются без изменений.

Теперь имеем:

\( \cos 158^\circ - 51/\sin^2 80^\circ + \sin^2 10^\circ \)

Шаг 5: Воспользуемся известными значениями тригонометрических функций.

\(\cos 158^\circ = -\cos(180^\circ - 158^\circ) = -\cos 22^\circ\)

\(\sin^2 10^\circ\) и \(\sin^2 80^\circ\) остаются без изменений.

Теперь имеем:

\( -\cos 22^\circ - 51/\sin^2 80^\circ + \sin^2 10^\circ \)

Шаг 6: Иллюстрируем значения тригонометрических функций.

\(\cos 22^\circ \approx 0.927\)

\(\sin^2 80^\circ \approx 0.994\)

\(\sin^2 10^\circ \approx 0.035\)

Шаг 7: Подставим значения в исходное выражение.

\( -0.927 - 51/0.994 + 0.035 \)

Шаг 8: Выполним вычисления.

\( -0.927 - 51 \approx -51.927 \)

Таким образом, значение данного выражения примерно равно -51.927.

Обратите внимание, что я использовал округление для краткости, но в реальных математических вычислениях нужно быть более точными.