Какова площадь круга и окружности, ограничивающей его, если сторона вписанного правильного треугольника равна 5 корням

Хорошо! Чтобы решить эту задачу, нам понадобятся несколько формул, связанных с кругами и правильными треугольниками.

Начнем с определения правильного треугольника. В правильном треугольнике все стороны и углы равны. Таким образом, если сторона вписанного правильного треугольника равна 5 корням из числа, то все три стороны также равны 5 корням из числа.

Для нахождения площади правильного треугольника можно воспользоваться формулой:
\[S = \frac{{a^2\sqrt{3}}}{4}\]
где \(a\) - длина стороны треугольника.

В нашем случае, длина стороны треугольника равна 5 корням из числа, поэтому:
\[S = \frac{{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}}{4}\]
\[S = \frac{{75\sqrt{3}}}{4}\]

Теперь перейдем к расчету площади круга, ограничивающего этот треугольник. Мы знаем, что диаметр круга равен стороне треугольника. Таким образом, диаметр круга также равен 5 корням из числа.

Формула для расчета площади круга:
\[S = \pi r^2\]
где \(r\) - радиус круга, который можно найти как половину диаметра.

В нашем случае, радиус круга равен половине диаметра:
\[r = \frac{{5\sqrt{3}}}{2}\]

Подставляем значения в формулу площади круга:
\[S = \pi \left(\frac{{5\sqrt{3}}}{2}\right)^2\]
\[S = \pi \frac{{75}}{4}\]
\[S = \frac{{75\pi}}{4}\]

Таким образом, площадь правильного треугольника равна \(\frac{{75\sqrt{3}}}{4}\), а площадь круга равна \(\frac{{75\pi}}{4}\).