Каково значение скалярного произведения данных векторов, если длина ребра куба составляет

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства и определения скалярного произведения и привлечь геометрический смысл скалярного произведения векторов.

Пусть у нас есть два вектора \(\overrightarrow{A}\) и \(\overrightarrow{B}\). Скалярное произведение векторов определяется следующим образом:

\(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A}| \cdot |\overrightarrow{B}| \cdot \cos(\theta)\),

где \(|\overrightarrow{A}|\) и \(|\overrightarrow{B}|\) - длины векторов, а \(\theta\) - угол между двумя векторами.

В задаче речь идёт о кубе, так что у нас есть ребро куба. Давайте обозначим его как \(a\). Поскольку все ребра куба равны по длине, то длина векторов, параллельных рёбрам куба, будет также равна \(a\). Теперь нам нужно найти угол между этими векторами, чтобы вычислить скалярное произведение.

Применим формулу скалярного произведения для наших векторов:
\(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A}| \cdot |\overrightarrow{B}| \cdot \cos(\theta)\).

Так как векторы параллельны, и угол между ними равен 0 (или 180 градусов, что тоже даст нам тот же результат), то \(\cos(0) = 1\). Тогда наш ответ будет:

\(\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = |\overrightarrow{A}| \cdot |\overrightarrow{B}| \cdot \cos(0) = a \cdot a \cdot 1 = a^2\).

Таким образом, значение скалярного произведения данных векторов, если длина ребра куба составляет \(a\), равно \(a^2\).