Каков угол между плоскостью треугольника АВС и плоскостью , если вершина С равностороннего треугольника АВС удалена

Чтобы найти угол между плоскостью треугольника АВС и плоскостью, указанной в задаче, можно воспользоваться геометрическими свойствами треугольника.

В данной задаче у нас задан равносторонний треугольник АВС, где вершина С удалена от плоскости на 2 см, а сторона АВ лежит в плоскости.

Для начала рассмотрим расстояние от вершины С до плоскости. Так как треугольник АВС равносторонний, то все его стороны равны друг другу. Обозначим длину стороны треугольника АВС как L. Тогда из условия задачи следует, что расстояние от вершины С до плоскости составляет 2 см. Значит, можно записать уравнение: L = 2 см.

Далее рассмотрим плоскость, заданную в условии. Так как сторона АВ лежит в этой плоскости, то вектор нормали к этой плоскости будет перпендикулярен стороне АВ. Воспользуемся этим свойством.

Построим вектор нормали к плоскости, обозначим его как \(\vec{n}\). Поскольку сторона АВ лежит в плоскости, то вектор нормали \(\vec{n}\) будет перпендикулярен стороне АВ. Также известно, что треугольник АВС равносторонний, поэтому угол между вектором \(\vec{n}\) и стороной АВ будет составлять 60 градусов.

Теперь нам нужно найти угол между плоскостью треугольника АВС и заданной плоскостью. Этот угол будет равен углу между вектором нормали к плоскости треугольника АВС и вектором нормали к заданной плоскости.

Для нахождения вектора нормали к плоскости, обозначим его как \(\vec{m}\). Так как сторона АВ лежит в плоскости треугольника, то вектор \(\vec{m}\) будет перпендикулярен стороне АВ и лежать в плоскости треугольника. Также известно, что треугольник АВС равносторонний, поэтому угол между вектором \(\vec{m}\) и стороной АВ также составляет 60 градусов.

Теперь нам нужно найти косинус угла между векторами \(\vec{n}\) и \(\vec{m}\). Для этого воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между двумя векторами:

\[
\cos(\theta) = \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{\left\|\vec{n}\right\| \cdot \left\|\vec{m}\right\|},
\]

где \(\theta\) - угол между векторами, \(\vec{n}\) и \(\vec{m}\), а \(\vec{n} \cdot \vec{m}\) - скалярное произведение векторов \(\vec{n}\) и \(\vec{m}\), а \(\left\|\vec{n}\right\|\) и \(\left\|\vec{m}\right\|\) - модули этих векторов.

Так как угол между векторами \(\vec{n}\) и \(\vec{m}\) равен 60 градусов, то косинус угла будет равен \(cos(60) = \frac{1}{2}\).

Таким образом, угол между плоскостью треугольника АВС и заданной плоскостью равен \(arccos\left(\frac{1}{2}\right)\). Подставляя значение угла, получаем:

\[
arccos\left(\frac{1}{2}\right) \approx 60^\circ.
\]

Таким образом, угол между плоскостью треугольника АВС и заданной плоскостью примерно равен 60 градусам.