Каково значение sin(t+pi/6), если sin(t) = 5/13 и t находится в диапазоне (pi/2, pi)?

Чтобы найти значение функции \(\sin(t + \frac{\pi}{6})\), нам необходимо использовать формулу для синуса суммы двух углов. Сначала найдём значение \(\sin(t)\). Мы знаем, что \(\sin(t) = \frac{5}{13}\). Теперь воспользуемся формулой для синуса суммы углов:

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)\]

В нашем случае, \(\alpha = t\) и \(\beta = \frac{\pi}{6}\), поэтому:

\[\sin(t + \frac{\pi}{6}) = \sin(t)\cos(\frac{\pi}{6}) + \cos(t)\sin(\frac{\pi}{6})\]

Мы можем вычислить значения \(\cos(\frac{\pi}{6})\) и \(\sin(\frac{\pi}{6})\), поскольку это стандартные значения, которые можно найти в таблице значений функций.

\(\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}\)

Подставим эти значения в формулу:

\[\sin(t + \frac{\pi}{6}) = \frac{5}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos(t) \cdot \frac{1}{2}\]

Теперь давайте вычислим значение \(\cos(t)\). Из условия задачи известно, что \(t\) находится в диапазоне \((\frac{\pi}{2}, \pi)\). В этом диапазоне, \(\cos(t)\) отрицательное значение, поскольку косинус является отрицательным на этом интервале. Давайте найдём значение \(\cos(t)\) по формуле косинуса с использованием значения \(\sin(t)\):

\[\cos(t) = \sqrt{1 - \sin^2(t)}\]

\[\cos(t) = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2}\]

\[\cos(t) = \sqrt{1 - \frac{25}{169}}\]

Теперь, используя найденное значение \(\cos(t)\), можно вычислить итоговое значение:

\[\sin(t + \frac{\pi}{6}) = \frac{5}{13} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{1 - \frac{25}{169}} \cdot \frac{1}{2}\]

Дальше вычисления могут быть не очень точными, поэтому давайте округлим полученный результат до трёх знаков после запятой:

\[\sin(t + \frac{\pi}{6}) \approx 0.587\]