Каково значение производной функции y=9(x^3)+x−8 в точке x=2 с точностью до 0.001?

Для решения этой задачи мы воспользуемся понятием производной функции, которое является одним из основных понятий в дифференциальном исчислении. Производная функции показывает, как быстро изменяется значение функции в каждой точке. Для нахождения производной функции \( y = 9x^3 + x - 8 \) мы будем использовать правила дифференцирования.

Шаг 1: Найдем производную функции \( y \).
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (9x^3 + x - 8) \]

Шаг 2: Применим правило дифференцирования для каждого слагаемого.
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (9x^3) + \frac{d}{dx} (x) - \frac{d}{dx} (8) = 27x^2 + 1 - 0 = 27x^2 + 1 \]

Шаг 3: Найдем значение производной в точке \( x = 2 \).
\[ \frac{dy}{dx} = 27(2)^2 + 1 = 27 \cdot 4 + 1 = 108 + 1 = 109 \]

Получили значение производной функции \( y = 9x^3 + x - 8 \) в точке \( x = 2 \): \( \frac{dy}{dx} = 109 \).

Однако задача требует ответ с точностью до 0.001. Чтобы получить более точное значение, рассмотрим приращение \( \Delta y \) при заданном приращении \( \Delta x \) вокруг точки \( x = 2 \).

Шаг 4: Выберем некоторое значение для \( \Delta x \), например, \( \Delta x = 0.001 \). Для данного значения приращения \( \Delta x \) можно найти соответствующее приращение \( \Delta y \) с помощью найденной производной.
\[ \Delta y = \frac{dy}{dx} \cdot \Delta x = 109 \cdot 0.001 = 0.109 \]

Таким образом, значение производной функции \( y = 9x^3 + x - 8 \) в точке \( x = 2 \) с точностью до 0.001 равно 0.109 или примерно 0.109.