Каково значение производной функции y=1+ctg2x+п в точке Хо=П/2?

Хорошо, рассмотрим задачу более детально.

Для начала, давайте найдем производную функции y по переменной x. Для этого воспользуемся правилом дифференцирования суммы, произведения и частного функций.

Итак, функция y представлена в виде суммы трех слагаемых: 1, ctg(2x) и п. Давайте найдем производную каждого слагаемого по отдельности.

При дифференцировании константы 1 по переменной x, получим 0, так как производная постоянной всегда равна нулю.

Далее, продифференцируем ctg(2x). Для этого воспользуемся цепным правилом, где производная композиции функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции. В данном случае внешняя функция - ctg, а внутренняя - 2x.

Производная внешней функции ctg(x) равна -(1/(sin^2(x))), а производная внутренней функции 2x равна 2.

Таким образом, производная слагаемого ctg(2x) равна -(2/(sin^2(2x))).

Наконец, продифференцируем последнее слагаемое п по переменной x. В данном случае у нас просто переменная, а производная переменной равна 1.

Теперь, объединим все полученные производные трех слагаемых и получим производную функции y по переменной x:

\(y" = 0 + \left(-\frac{2}{\sin^2(2x)}\right) + 1\)

Simplifying the expression, we get:

\(y" = -\frac{2}{\sin^2(2x)} + 1\)

Теперь, чтобы найти значение производной в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\), мы должны подставить \(x_0\) в полученное выражение:

\(y" = -\frac{2}{\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{2})} + 1\)

Поскольку \(\sin^2(\frac{\pi}{2}) = 1\), выражение упрощается до:

\(y" = -2 + 1 = -1\)

Итак, значение производной функции \(y = 1 + \ctg(2x) + п\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{2}\) равно -1.

Я надеюсь, этот подробный ответ был полезен для вашего понимания. Если у вас есть еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь спрашивать.