Каково значение производной функции f(x) в точке x0, если на графике изображена функция y = f(x) и касательная к

Для того чтобы найти значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), необходимо использовать определение производной. Обычно, производная функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \) определяется как предел отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Математически это можно записать следующим образом:

\[ f"(x_0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x_0 + h) - f(x_0)}}{h} \]

Здесь \( f"(x_0) \) представляет собой значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \).

На графике функции \( y = f(x) \) точка касания (тангенсальная точка) касательной с осью абсцисс обозначается \( x_0 \). Заметим, что касательная к функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) является предельным положением секущей, проходящей через две точки графика функции на малом отрезке \( \Delta x \) с центром в точке \( x_0 \) при устремлении длины отрезка к нулю. Именно эта секущая в определении производной играет роль изменения функции и аргумента.

Таким образом, чтобы найти значение производной функции \( f(x) \) в точке \( x_0 \), нужно найти предел отношения изменения функции к изменению аргумента по формуле, указанной выше.

Мы можем применить это определение производной на примере, чтобы увидеть, как это работает. Допустим, у нас есть функция \( f(x) = x^2 \) и мы хотим найти значение производной в точке \( x_0 = 2 \). Тогда мы можем использовать определение производной:

\[ f"(2) = \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} \]

\[ = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(2 + h)^2 - 2^2}}{h} \]

\[ = \lim_{{h \to 0}} \frac{{(4 + 4h + h^2) - 4}}{h} \]

\[ = \lim_{{h \to 0}} \frac{{4h + h^2}}{h} \]

\[ = \lim_{{h \to 0}} (4 + h) = 4 \]

Таким образом, значение производной функции \( f(x) = x^2 \) в точке \( x_0 = 2 \) равно 4.

Данный способ можно применить для любой функции и любой точки, чтобы найти значение производной. Это основной инструмент в дифференциальном исчислении, который позволяет нам исследовать поведение функций и решать различные задачи, связанные с изменением величин.