Каково значение производной функции f(x) в точке x0, если на графике изображена функция y = f(x) и касательная к

Для того чтобы найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, необходимо использовать определение производной. Обычно, производная функции $f(x)$ в точке $x_0$ определяется как предел отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении последнего к нулю.

Математически это можно записать следующим образом:

$$f"(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

Здесь $f"(x_0)$ представляет собой значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

На графике функции $y=f(x)$ точка касания (тангенсальная точка) касательной с осью абсцисс обозначается $x_0$. Заметим, что касательная к функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ является предельным положением секущей, проходящей через две точки графика функции на малом отрезке $\mathrm{\Delta }x$ с центром в точке $x_0$ при устремлении длины отрезка к нулю. Именно эта секущая в определении производной играет роль изменения функции и аргумента.

Таким образом, чтобы найти значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$, нужно найти предел отношения изменения функции к изменению аргумента по формуле, указанной выше.

Мы можем применить это определение производной на примере, чтобы увидеть, как это работает. Допустим, у нас есть функция $f(x)=x^2$ и мы хотим найти значение производной в точке $x_0=2$. Тогда мы можем использовать определение производной:

$$f"(2)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$$

$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(2+h{)}^2-2^2}{h}$$

$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(4+4h+h^2)-4}{h}$$

$$=\underset{h\to 0}{lim}\frac{4h+h^2}{h}$$

$$=\underset{h\to 0}{lim}(4+h)=4$$

Таким образом, значение производной функции $f(x)=x^2$ в точке $x_0=2$ равно 4.

Данный способ можно применить для любой функции и любой точки, чтобы найти значение производной. Это основной инструмент в дифференциальном исчислении, который позволяет нам исследовать поведение функций и решать различные задачи, связанные с изменением величин.