Каково значение производной функции cos3x при x = П/2? Каково значение производной функции cos2x при x = П/4? Каково

Давайте решим поставленные задачи:

1. Для начала найдем производную функции \(f(x) = \cos(3x)\). Для этого используем правило дифференцирования сложной функции (chain rule). По этому правилу, производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции. В данном случае, внешняя функция - \(\cos(u)\), где \(u = 3x\), а внутренняя функция - \(u = 3x\). Найдем производные внешней и внутренней функций:

Производная внешней функции: \(\frac{d}{du}(\cos(u) = -\sin(u)\)

Производная внутренней функции: \(\frac{du}{dx} = 3\)

Теперь, умножим эти два значения, чтобы найти производную функции \(f(x) = \cos(3x)\):

\(f"(x) = -\sin(3x) \cdot 3\)

Теперь подставим \(x = \frac{\pi}{2}\) в производную функции, чтобы найти значение производной в данной точке:

\(f"\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(3 \cdot \frac{\pi}{2}\right) \cdot 3\)

\(f"\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) \cdot 3\)

Мы знаем, что \(\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1\), поэтому:

\(f"\left(\frac{\pi}{2}\right) = -(-1) \cdot 3\)

\(f"\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3\)

Таким образом, значение производной функции \(\cos(3x)\) при \(x = \frac{\pi}{2}\) равно 3.

2. Теперь рассмотрим функцию \(g(x) = \cos(2x)\) и найдем производную функции \(g"(x)\). Как и в предыдущем случае, мы будем использовать правило сложной функции:

Производная внешней функции: \(\frac{d}{du}(\cos(u) = -\sin(u)\)

Производная внутренней функции: \(\frac{du}{dx} = 2\)

Умножим эти значения, чтобы найти производную функции \(g(x) = \cos(2x)\):

\(g"(x) = -\sin(2x) \cdot 2\)

Теперь подставим \(x = \frac{\pi}{4}\) в производную функции, чтобы найти значение производной в данной точке:

\(g"\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \cdot 2\)

\(g"\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot 2\)

Мы знаем, что \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\), поэтому:

\(g"\left(\frac{\pi}{4}\right) = -(1) \cdot 2\)

\(g"\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2\)

Таким образом, значение производной функции \(\cos(2x)\) при \(x = \frac{\pi}{4}\) равно -2.

3. Наконец, найдем значение производной функции \(\left(\frac{x-3}{x-1}\right)\) в точке \(x = 2\). Для этого вычислим производную функции \(h"(x)\), используя правило дифференцирования частного функций:

Производная числителя: \(\frac{d}{dx}(x-3) = 1\)

Производная знаменателя: \(\frac{d}{dx}(x-1) = 1\)

Теперь применим формулу для производной частного функций:

\(h"(x) = \frac{(1) \cdot (x - 1) - (1) \cdot (x - 3)}{(x - 1)^2}\)

Упростим это выражение:

\(h"(x) = \frac{x - 1 - (x - 3)}{(x - 1)^2}\)

\(h"(x) = \frac{x - 1 - x + 3}{(x - 1)^2}\)

\(h"(x) = \frac{2}{(x - 1)^2}\)

Теперь подставим \(x = 2\) в производную функции, чтобы найти значение производной в данной точке:

\(h"(2) = \frac{2}{(2 - 1)^2}\)

\(h"(2) = \frac{2}{1^2}\)

\(h"(2) = \frac{2}{1}\)

\(h"(2) = 2\)

Таким образом, значение производной функции \(\frac{x - 3}{x - 1}\) при \(x = 2\) равно 2.

Надеюсь, что мое пошаговое объяснение было полезным и понятным. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, задавайте!