Каково значение квадрата тангенса tg^2(3a), если cos(6a)=0,2?

Для решения этой задачи воспользуемся некоторыми свойствами тригонометрии.

Дано, что \(\cos(6a) = 0,2\). Нам нужно найти значение квадрата тангенса \(\tan^2(3a)\).

Первым шагом рассмотрим соотношение между синусом и косинусом для удвоенного аргумента:
\[\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)\]

Используя это соотношение, найдем синус половинного аргумента:
\[\sin(\alpha) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}}\]

Теперь рассмотрим соотношение между синусом и тангенсом:
\[\sin(\alpha) = \frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{1 + \tan^2(\alpha)}}\]

Установим связь между тангенсом и косинусом:
\[\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\]

Теперь мы можем найти значение тангенса \(\tan(3a)\), разделив \(\sin(3a)\) на \(\cos(3a)\):
\[\tan(3a) = \frac{\sin(3a)}{\cos(3a)}\]

Для решения этой задачи мы будем использовать эти формулы. Начнем с того, что найдем значение \(\sin(6a)\) и \(\cos(3a)\) с помощью данного нам значения \(\cos(6a)\).

Известно, что \(\cos(6a) = 0,2\).

С помощью формулы \(\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1\) найдем \(\cos(6a)\):
\[0,2 = 2\cos^2(3a) - 1\]

Добавим 1 к обеим сторонам уравнения:
\[1,2 = 2\cos^2(3a)\]

Разделим обе стороны на 2:
\[\frac{1,2}{2} = \cos^2(3a)\]

Упростим:
\[\cos^2(3a) = 0,6\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:
\[\cos(3a) = \pm \sqrt{0,6}\]

Теперь, используя формулу \(\tan(3a) = \frac{\sin(3a)}{\cos(3a)}\), мы можем найти значение тангенса \(\tan(3a)\).

Однако, чтобы найти значение \(\tan^2(3a)\), нам нужно знать только знак \(\cos(3a)\), поэтому мы можем игнорировать знак "+" или "-" при нахождении значения тангенса.

Теперь найдем значение \(\sin(3a)\) с помощью полученного значения \(\cos(3a)\):

Для нахождения \(\sin(3a)\) воспользуемся следующим соотношением: \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\)

Подставим значение \(\cos(3a)\) вместо \(\alpha\):
\[\sin^2(3a) + \cos^2(3a) = 1\]

Так как \(\cos^2(3a) = 0,6\), подставим это значение и решим уравнение:
\[\sin^2(3a) + 0,6 = 1\]

Вычтем 0,6 из обеих сторон уравнения:
\[\sin^2(3a) = 0,4\]

Извлечем квадратный корень из обеих сторон:
\[\sin(3a) = \pm \sqrt{0,4}\]

Теперь мы знаем значения \(\sin(3a)\) и \(\cos(3a)\), и можем вычислить:
\[\tan(3a) = \frac{\sin(3a)}{\cos(3a)}\]
\[\tan(3a) = \frac{\pm \sqrt{0,4}}{\pm \sqrt{0,6}}\]

Так как мы можем игнорировать знак "+" или "-" при нахождении значения тангенса, получаем:
\[\tan(3a) = \frac{\sqrt{0,4}}{\sqrt{0,6}} = \sqrt{\frac{4}{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\]

Наконец, нам нужно найти значение квадрата тангенса \(\tan^2(3a)\):
\[\tan^2(3a) = \left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 = \frac{2}{3}\]

Таким образом, значение квадрата тангенса \(\tg^2(3a)\), если \(\cos(6a) = 0,2\), равно \(\frac{2}{3}\).