Каково значение функции f(x)=x3−108x+402 в точке минимума (локального экстремума)?

Чтобы найти точку минимума (локальный экстремум) функции \(f(x) = x^3 - 108x + 402\), нам необходимо определить, при каком значении аргумента \(x\) функция достигает наименьшего значения.

Для этого можно воспользоваться производной функции \(f"(x)\), так как в точке минимума производная равна нулю.

Вычислим производную функции \(f"(x)\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 108x + 402) = 3x^2 - 108\]

Следующий шаг - найти значения \(x\), при которых производная равна нулю:
\[3x^2 - 108 = 0\]

Решим это квадратное уравнение относительно \(x\). Поделим обе части на 3:
\[x^2 - 36 = 0\]

Добавим 36 к обеим частям:
\[x^2 = 36\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей:
\[x = \pm 6\]

Таким образом, мы получили два потенциальных значения \(x\), при которых функция может достигать локального экстремума: \(x = 6\) и \(x = -6\).

Для определения, является ли это точка минимума или максимума, необходимо проанализировать вторую производную функции \(f""(x)\) в этих точках.

Вычислим вторую производную функции \(f""(x)\):
\[f""(x) = \frac{d^2}{dx^2}(x^3 - 108x + 402) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 108) = 6x\]

Подставим значения \(x = 6\) и \(x = -6\) в \(f""(x)\):
\[f""(6) = 6 \cdot 6 = 36\]
\[f""(-6) = 6 \cdot (-6) = -36\]

Определим характеристику каждой точки:
- Если \(f""(x) > 0\), то точка является точкой минимума.
- Если \(f""(x) < 0\), то точка является точкой максимума.

Таким образом, при \(x = 6\) получаем положительное значение \(f""(6) = 36\), что означает, что функция имеет локальный минимум в точке \(x = 6\). Аналогично, при \(x = -6\) получаем отрицательное значение \(f""(-6) = -36\), что означает, что функция имеет локальный максимум в точке \(x = -6\).

Таким образом, значение функции \(f(x)\) в точке минимума равно:
\[f(6) = 6^3 - 108 \cdot 6 + 402 = 36 - 648 + 402 = -210\]

Ответ: Значение функции \(f(x) = x^3 - 108x + 402\) в точке минимума (лоального экстремума) равно -210.