Каково значение функции f(x)=x3−108x+402 в точке минимума (локального экстремума)?

Чтобы найти точку минимума (локальный экстремум) функции $f(x)=x^3-108x+402$, нам необходимо определить, при каком значении аргумента $x$ функция достигает наименьшего значения.

Для этого можно воспользоваться производной функции $f"(x)$, так как в точке минимума производная равна нулю.

Вычислим производную функции $f"(x)$:
$$f"(x)=\frac{d}{dx}(x^3-108x+402)=3x^2-108$$

Следующий шаг - найти значения $x$, при которых производная равна нулю:
$$3x^2-108=0$$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$. Поделим обе части на 3:
$$x^2-36=0$$

Добавим 36 к обеим частям:
$$x^2=36$$

Возьмем квадратный корень от обеих частей:
$$x=\pm 6$$

Таким образом, мы получили два потенциальных значения $x$, при которых функция может достигать локального экстремума: $x=6$ и $x=-6$.

Для определения, является ли это точка минимума или максимума, необходимо проанализировать вторую производную функции $f""(x)$ в этих точках.

Вычислим вторую производную функции $f""(x)$:
$$f""(x)=\frac{d^2}{d{x}^2}(x^3-108x+402)=\frac{d}{dx}(3x^2-108)=6x$$

Подставим значения $x=6$ и $x=-6$ в $f""(x)$:
$$f""(6)=6\cdot 6=36$$
$$f""(-6)=6\cdot (-6)=-36$$

Определим характеристику каждой точки:
- Если $f""(x)>0$, то точка является точкой минимума.
- Если $f""(x)<0$, то точка является точкой максимума.

Таким образом, при $x=6$ получаем положительное значение $f""(6)=36$, что означает, что функция имеет локальный минимум в точке $x=6$. Аналогично, при $x=-6$ получаем отрицательное значение $f""(-6)=-36$, что означает, что функция имеет локальный максимум в точке $x=-6$.

Таким образом, значение функции $f(x)$ в точке минимума равно:
$$f(6)=6^3-108\cdot 6+402=36-648+402=-210$$

Ответ: Значение функции $f(x)=x^3-108x+402$ в точке минимума (лоального экстремума) равно -210.