Каково значение двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды, если высота составляет 6

Чтобы найти значение двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды, мы можем использовать свойство, что сумма углов основания равна 360 градусов. Давайте начнем решение задачи.

Дано: высота пирамиды \(h = 6\) см и площадь боковой поверхности \(S = 96\) см².

Пусть \(a\) будет длиной стороны основания пирамиды. Поскольку пирамида является правильной, все стороны основания равны.

Теперь давайте найдем площадь основания пирамиды. Площадь основания равна половине произведения периметра и радиуса вписанной окружности. У нас есть только сторона основания, поэтому радиус вписанной окружности будет равен половине длины стороны основания пирамиды.

Радиус вписанной окружности \(r = \frac{a}{2}\).

Площадь основания:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр} \times r\]

Поскольку пирамида является правильной и у нас есть только одна сторона, периметр будет равен умножению длины стороны на количество сторон основания:

\[\text{периметр} = a \times 4\]

Теперь мы можем записать формулу для площади основания:

\[S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times (a \times 4) \times \left(\frac{a}{2}\right)\]

Разделим обе части на 2:

\[S_{\text{основания}} = 2 \times (a \times 4) \times \left(\frac{a}{2}\right)\]

Упростим выражение:

\[S_{\text{основания}} = 4a^2\]

Теперь мы можем записать уравнение, используя известные данные:

\[4a^2 = 96\]

Разделим обе части на 4:

\[a^2 = 24\]

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[a = \sqrt{24}\]

Упростим корень:

\[a = 2\sqrt{6}\]

Теперь, чтобы найти значение двугранного угла при основании пирамиды, мы можем использовать свойство, что сумма углов основания равна 360 градусов.

Угол одного треугольника вокруг основания будет равен:

\[\frac{{360^\circ}}{{\text{количество сторон основания}}}\]

Количество сторон основания равно 4 (у нас есть четырехугольная пирамида).

Угол:

\[\text{угол} = \frac{{360^\circ}}{{4}} = 90^\circ\]

Значение двугранного угла при основании правильной четырёхугольной пирамиды равно \(90^\circ\).