Каково значение DM для прямоугольника ABCD, где AB = 12 и BC = 31, а угол AMB равен 45 градусов? Включите подробные

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Эта теорема позволяет нам найти длину одной из сторон треугольника, если известны длины двух других сторон и меры включенного угла.

Таким образом, мы можем применить теорему косинусов к треугольнику AMB, где стороны AM и BM известны, а мера угла AMB равна 45 градусам.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]
где c - длина стороны противолежащей углу C, a и b - длины двух сторон, образующих угол C.

В нашем случае, мы ищем длину стороны DM, которая является стороной противолежащей углу AMB, а стороны AM и BM известны.

Подставляя значения в формулу, получаем:
\[DM^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(45^\circ)\]

Так как сторона AM равна AB, а сторона BM равна BC, мы можем записать:
\[DM^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(45^\circ)\]

Подставляя значения AB = 12, BC = 31 и cos(45°) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), получаем:
\[DM^2 = 12^2 + 31^2 - 2 \cdot 12 \cdot 31 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Вычисляем значение величины DM^2, заменяя соответствующие значения:
\[DM^2 = 144 + 961 - 2 \cdot 12 \cdot 31 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\]

\[DM^2 = 1105 - 12 \cdot 31 \cdot \sqrt{2}\]

\[DM^2 = 1105 - 12 \cdot 31 \cdot \sqrt{2}\]

Чтобы найти значение DM, возьмем положительный квадратный корень из DM^2:
\[DM = \sqrt{1105 - 12 \cdot 31 \cdot \sqrt{2}}\]

Подставляя значения величин, получаем:
\[DM \approx 14.84\]

Таким образом, значение DM для прямоугольника ABCD с данными сторонами и углом равно примерно 14.84 (округлено до двух знаков после запятой).