1) Які координати вершин трикутника АВС, якщо відомо, що А(4; -1), B(2;3) C(-4:1)? 2) Як знайти модуль вектора АР, якщо

Добрый день! Рассмотрим каждую задачу по очереди и пошагово решим их.

1) Для нахождения координат вершин треугольника, воспользуемся информацией, что известны координаты точек A(4; -1), B(2;3) и C(-4:1).
Координаты вершин треугольника задают соответствующие точки на плоскости. В данном случае, вершина A имеет координаты (4; -1), вершина B - (2;3), а вершина C - (-4:1).

2) Для нахождения модуля вектора АР, зная, что АР = 2АС, рассмотрим следующие шаги:
- Найдем координаты вектора АС, умножив координаты вектора А на коэффициент 2: АС = (2 * (4 - (-4)), 2 * (-1 - 1)) = (16, -4).
- Сформируем вектор АР, вычтя из координат вершины Р (которая нам неизвестна), координаты вершины А:
АР = (Рx - Аx, Ру - Ау) = (Рx - 4, Ру - (-1)).
- Используя полученные координаты вектора АР и его связь с вектором АС, запишем уравнение:
(Рx - 4, Ру + 1) = 2 * (16, -4).
- Решим полученное уравнение, разделив каждую координату вектора АР на соответствующую координату вектора АС:
Рx - 4 = 2 * 16 => Рx = 36,
Ру + 1 = 2 * (-4) => Ру = -9.
- Таким образом, координаты вершины Р равны (36, -9).
- Найдем модуль вектора АР, используя формулу модуля вектора:
|АР| = sqrt((Рx - Аx)^2 + (Ру - Ау)^2)
|АР| = sqrt((36 - 4)^2 + (-9 - (-1))^2)
|АР| = sqrt(32^2 + (-8)^2)
|АР| = sqrt(1024 + 64)
|АР| = sqrt(1088)
|АР| ≈ 32.98.

3) Для построения векторов AB и CD, зная, что A(1;-3), AB(2;5), D(-1; -2) и CD(3;-3), выполним следующие действия:
- Вектор AB можно определить, вычтя из координат точек А и В соответственно: AB = (2 - 1, 5 - (-3)) = (1, 8).
- Вектор CD можно определить, вычтя из координат точек C и D: CD = (-1 - 3, -2 - (-3)) = (-4, 1).

4) Чтобы найти длину высоты AD треугольника ABC, зная A(-5;5), B(2;1), C(-4;-2) и что ордината точки D больше абсциссы на 1, выполним следующие шаги:
- Запишем уравнение прямой, проходящей через вершину А и перпендикулярной стороне ВС: x = -5.
- Точка пересечения этой прямой с стороной ВС будет точкой D.
- Координаты точки D: D(-5, -2 + 1) = (-5, -1).
- Чтобы найти длину высоты AD, найдем расстояние между точками A и D, используя формулу расстояния между двумя точками:
Длина AD = sqrt((-5 - (-5))^2 + (5 - (-1))^2) = sqrt(0^2 + 6^2) = sqrt(36) = 6.

Теперь задачи решены и все пояснения предоставлены. Если у вас возникнут еще вопросы или есть что-то еще, с чем я могу вам помочь, пожалуйста, сообщите!