Каково значение cos(-3645°) и почему?

Чтобы посчитать значение косинуса от угла \(-3645^\circ\), мы сначала должны преобразовать данный угол в угол, лежащий в пределах от 0 до \(360^\circ\), так как тригонометрические функции периодичны с периодом \(360^\circ\).

Сначала найдём количество полных оборотов, которое мы можем сделать вокруг окружности, используя данный угол \(-3645^\circ\). Для этого мы делим угол на \(360^\circ\) и находим остаток:

\[
-3645^\circ \div 360^\circ = -10\, \text{в} -45^\circ
\]

Это означает, что угол \(-3645^\circ\) эквивалентен углу, который прошел \(10\) полных оборотов против часовой стрелки (в отрицательном направлении) и дополнительным углом \(-45^\circ\). Из этого следует, что \(-3645^\circ\) равно углу \(-45^\circ\).

Зная, что косинус - это отношение прилегающего катета к гипотенузе, мы можем рассмотреть треугольник на координатной плоскости, где угол \(-45^\circ\) лежит в третьей четверти. В третьей четверти значение косинуса отрицательно.

Таким образом, значение косинуса от угла \(-3645^\circ\) равно значению косинуса от угла \(45^\circ\), но с противоположным знаком. Значение косинуса угла \(45^\circ\) равно \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), поскольку в треугольнике прямоугольника с углом \(45^\circ\) противоположный и прилежащий катеты равны.

То есть:

\[
\cos(-3645^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Таким образом, значение косинуса от угла \(-3645^\circ\) равно \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).