Каково значение a4 в данной арифметической прогрессии, если a3 = 18 и a5 = 22? Какова сумма первых 10 членов этой

Чтобы найти значение \(a_4\) в данной арифметической прогрессии, нам нужно рассмотреть связь между различными членами последовательности.

Арифметическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путем прибавления одной и той же константы \(d\) к предыдущему члену. Обозначим первый член этой последовательности как \(a_1\), второй член как \(a_2\), третий член как \(a_3\), четвертый член как \(a_4\) и так далее.

Используя данную информацию, мы можем сформулировать уравнения для \(a_3\) и \(a_5\). Мы знаем, что \(a_3 = 18\) и \(a_5 = 22\).

Уравнения для \(a_3\) и \(a_5\) выглядят следующим образом:
\[
\begin{align*}
a_3 &= a_1 + 2d \\
a_5 &= a_1 + 4d
\end{align*}
\]

Мы можем использовать эти уравнения, чтобы найти значения \(a_1\) и \(d\), а затем подставить их обратно в уравнение для \(a_4\).

Для начала, выразим \(a_1\) из первого уравнения:
\[
\begin{align*}
a_1 &= a_3 - 2d \\
a_1 &= 18 - 2d
\end{align*}
\]

Теперь заменим \(a_1\) во втором уравнении:
\[
\begin{align*}
a_5 &= (18 - 2d) + 4d \\
22 &= 18 + 2d \\
4 &= 2d \\
d &= 2
\end{align*}
\]

Теперь, когда мы знаем значение \(d\), мы можем найти \(a_1\):
\[
\begin{align*}
a_1 &= 18 - 2 \cdot 2 \\
a_1 &= 18 - 4 \\
a_1 &= 14
\end{align*}
\]

И, наконец, найдем \(a_4\), используя \(a_1\) и \(d\):
\[
\begin{align*}
a_4 &= a_1 + 3d \\
a_4 &= 14 + 3 \cdot 2 \\
a_4 &= 14 + 6 \\
a_4 &= 20
\end{align*}
\]

Значение \(a_4\) в данной арифметической прогрессии равно 20.

Теперь рассмотрим вторую часть задачи - нахождение суммы первых 10 членов этой арифметической прогрессии.

Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии может быть найдена с помощью формулы:
\[
S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)
\]

где \(S_n\) - сумма, \(n\) - количество членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - \(n\)-й член.

В нашем случае, \(n = 10\), \(a_1 = 14\), \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставим значения в формулу и вычислим сумму:
\[
\begin{align*}
S_{10} &= \frac{10}{2}(14 + a_{10}) \\
S_{10} &= 5(14 + (10-1)2) \\
S_{10} &= 5(14 + 18) \\
S_{10} &= 5 \cdot 32 \\
S_{10} &= 160
\end{align*}
\]

Таким образом, сумма первых 10 членов этой арифметической прогрессии равна 160.