Какова высота прямой треугольной призмы, у которой площадь полной поверхности равна площади полной поверхности куба

Чтобы найти высоту прямой треугольной призмы, мы должны сначала найти площадь полной поверхности призмы и сравнить ее с площадью полной поверхности куба.

Площадь полной поверхности куба можно найти, умножив площадь одной его грани на 6. Грань куба является квадратом со стороной 12, поэтому площадь одной грани равна $12\cdot 12=144$. Умножаем это значение на 6, чтобы получить площадь полной поверхности куба: $144\cdot 6=864$.

Теперь рассмотрим прямую треугольную призму. Основание призмы образовано прямоугольным треугольником с гипотенузой равной 10 и одним из катетов равным $12$.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу: $\frac{1}{2}\cdot \text{катет}\cdot \text{катет}$. В данном случае: $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 12=60$.

Площадь боковой поверхности прямой треугольной призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы. Поскольку основание призмы является прямоугольным треугольником, его периметр можно найти, сложив длины всех его сторон. В данном случае, периметр равен сумме длин гипотенузы и двух катетов: $10+12+12=34$. Поэтому площадь боковой поверхности призмы равна $34\cdot \text{высота}$.

Таким образом, площадь полной поверхности прямой треугольной призмы будет состоять из площади основания и площади боковой поверхности призмы. Приравниваем это значение к площади полной поверхности куба и решаем уравнение:

$$60+34\cdot \text{высота}=864$$

Вычитаем 60 из обоих сторон уравнения:

$$34\cdot \text{высота}=864-60$$

$$34\cdot \text{высота}=804$$

Наконец, делим обе стороны уравнения на 34, чтобы найти высоту:

$$\text{высота}=\frac{804}{34}$$

$$\text{высота}\approx 23.65$$

Таким образом, высота прямой треугольной призмы составляет примерно 23.65.