6.19. Докажите, что MN является диаметром окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD

Чтобы доказать, что отрезок MN является диаметром окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD, мы можем воспользоваться свойством, которое говорит, что вписанный угол, соответствующий дуге, равен половине центрального угла, опирающегося на эту же дугу.

Давайте рассмотрим четырехугольник ABCD, который описан около окружности с центром в точке O. Пусть точка M - середина диагонали AC, а точка N - середина диагонали BD. Нам нужно доказать, что отрезок MN является диаметром этой окружности.

1. Поймем, что диагонали высекают равные дуги на окружности, описанной вокруг ABCD. Это происходит потому, что вписанный угол, опирающийся на дугу, является половиной центрального угла, который охватывает эту же дугу. В нашем случае, диагонали AC и BD опираются на одну и ту же дугу AD. Поэтому, дуги AD и CB являются равными.

2. Поскольку точка M является серединой диагонали AC, то она делит ее на две равные части. То есть, AM = MC.

3. Аналогично, точка N является серединой диагонали BD, поэтому BN = ND.

4. Объединим найденные факты о равенстве дуг и симметрии точек. Так как AM = MC, то дуги MC и MA также равны. Аналогично, дуги NB и ND равны.

5. Поскольку дуги AM и MC равны, а дуги NB и ND равны, у нас есть две пары равных дуг AD и CB. А это значит, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности.

6. Отсюда следует, что отрезок MN, который является прямой, проходящей через центр окружности, является диаметром этой окружности.

Таким образом, мы доказали, что отрезок MN является диаметром окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD.