Каково время полёта тела от точки броска до падения на землю, если тело брошено с углом 45° к горизонту и проходит

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы движения по горизонтали и вертикали.

Предположим, что тело бросается из точки A на высоте 10 м и падает на землю в точку B. Поскольку тело проходит высоту 10 м дважды, его общий вертикальный перемещение равно 20 м.

Разобьем движение на две составляющие: горизонтальную и вертикальную. Горизонтальное перемещение остается постоянным во время полета тела, поскольку в отсутствие горизонтальной силы трение отсутствует.

Зная, что горизонтальная скорость равна \(v_x\), равной \(v_0 \cdot \cos(\theta)\), где \(v_0\) - начальная скорость броска и \(\theta\) - угол броска, мы можем использовать формулу:

\[x = v_x \cdot t\]

где \(x\) - горизонтальное перемещение, а \(t\) - время полета.

Теперь рассмотрим вертикальную составляющую. Используя формулу движения с постоянным ускорением:

\[y = y_0 + v_{0y} \cdot t + \frac{1}{2} \cdot g \cdot t^2\]

где \(y\) - вертикальное перемещение, равное высоте тела (\(10 \, \text{м} \times 2 = 20 \, \text{м}\)), \(y_0\) - начальная высота (\(0 \, \text{м}\)), \(v_{0y}\) - вертикальная составляющая начальной скорости (\(v_0 \cdot \sin(\theta)\)), \(g\) - ускорение свободного падения (\(10 \, \text{м/с}^2\)) и \(t\) - время полета.

Поскольку вертикальное перемещение равно 20 м, мы можем записать:

\[20 = 0 + (v_0 \cdot \sin(\theta)) \cdot t + \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2\]

Теперь мы имеем два уравнения:

\[x = v_0 \cdot \cos(\theta) \cdot t\]

\[20 = (v_0 \cdot \sin(\theta)) \cdot t + 5 \cdot t^2\]

Мы можем использовать первое уравнение, чтобы выразить \(t\) через \(x\):

\[t = \frac{x}{v_0 \cdot \cos(\theta)}\]

Подставляя это значение во второе уравнение, получим:

\[20 = \left(v_0 \cdot \sin(\theta)\right) \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cdot \cos(\theta)}\right) + 5 \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cdot \cos(\theta)}\right)^2\]

Раскрывая скобки и упрощая уравнение, получим:

\[20 = \frac{x \cdot \sin(\theta)}{\cos(\theta)} + \frac{5 \cdot x^2}{v_0^2 \cdot \cos^2(\theta)}\]

Учитывая, что \(\sin(\theta) = \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}\) (поскольку \(\theta = 45^\circ\)), уравнение упрощается до:

\[20 = x + \frac{5 \cdot x^2}{v_0^2 \cdot \frac{1}{2}}\]

Теперь мы можем выразить значения \(x\) и \(v_0\) через известные величины. Так как \(v_0 = 10 \, \text{м/с}^2\) и \(x = v_0 \cdot t\), мы можем записать:

\[20 = v_0 \cdot t + \frac{5 \cdot (v_0 \cdot t)^2}{v_0^2 \cdot \frac{1}{2}}\]

Упрощая уравнение, получим:

\[20 = v_0 \cdot t + (10 \cdot t)^2\]

Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые, получим:

\[100 \cdot t^2 + v_0 \cdot t - 20 = 0\]

Теперь мы можем решить квадратное уравнение относительно \(t\) с помощью дискриминанта:

\[D = (v_0)^2 - 4 \cdot 100 \cdot (-20)\]
\[D = v_0^2 + 8000\]

Если дискриминант положительный, имеется два корня. Если он равен нулю, есть один корень. И если он отрицательный, корней нет.

В этой задаче дискриминант будет равен:

\[D = (10)^2 + 8000\]
\[D = 100 + 8000\]
\[D = 8100\]

Поскольку дискриминант положительный, имеется два корня. Вычислим их:

\[t_1 = \frac{-v_0 + \sqrt{D}}{2 \cdot 100}\]
\[t_2 = \frac{-v_0 - \sqrt{D}}{2 \cdot 100}\]

Подставим известные значения и вычислим время полета:

\[t_1 = \frac{-10 + \sqrt{8100}}{2 \cdot 100}\]
\[t_2 = \frac{-10 - \sqrt{8100}}{2 \cdot 100}\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[t_1 \approx 1.81 \, \text{сек}\]
\[t_2 \approx -0.11 \, \text{сек}\]

Очевидно, что время полета не может быть отрицательным, поэтому мы отбрасываем \(t_2\).

Таким образом, время полета тела от точки броска до падения на землю при условиях задачи составляет примерно 1.8 секунды. Округлив до десятых, получим ответ: \(t \approx 1.8 \, \text{сек}\).