Каково время охлаждения нагретого до температуры т1=1500К железного шара диаметром d=0.1м до температуры т1=1000К, если

Для решения данной задачи о времени охлаждения нагретого железного шара, мы можем использовать закон Стефана-Больцмана и закон Стефана-Больцмана для серых тел.

1. Сначала определим мощность излучения шара. Для этого воспользуемся формулой:

\[ P = \sigma \cdot S \cdot T^4 \]

где \( \sigma \) - постоянная Стефана-Больцмана (\(5.67 \times 10^{-8} \, \text{Вт} / (\text{м}^2 \cdot \text{К}^4)\)),

\( S \) - площадь поверхности шара (\( S = 4\pi r^2 \), где \( r \) - радиус шара),

\( T \) - температура шара в Кельвинах.

Подставляя данные в формулу, получаем:

\[ P = \sigma \cdot 4\pi r^2 \cdot T^4 \]

2. Вычислим массу шара, используя формулу:

\[ m = \frac{4}{3} \pi r^3 \cdot \rho \]

где \( \rho \) - плотность железа.

3. Затем получим количество теплоты, которое необходимо излучить шару, чтобы остыть от температуры \( T_1 \) до температуры \( T_2 \):

\[ Q = m \cdot c \cdot (T_1 - T_2) \]

где \( c \) - удельная теплоемкость железа.

4. Теперь можем найти время охлаждения, используя следующую формулу:

\[ Q = Pt \]

где \( t \) - время охлаждения.

5. Для определения изменения длины волны, на которую приходится максимум излучательной способности, воспользуемся законом Вина:

\[ \lambda_{max} \cdot T = b \]

где \( \lambda_{max} \) - длина волны максимальной излучательной способности,

\( T \) - температура шара,

\( b \) - постоянная равная приблизительно \( 2.9 \times 10^{-3} \, \text{м} \cdot \text{К} \).

6. Определим новую длину волны максимальной излучательной способности после охлаждения. При постоянной постоянной равной \( b \) и уменьшении температуры шара, длина волны максимальной излучательной способности будет увеличиваться.

Теперь приступим к вычислениям.

Дано: \( T_1 = 1500 \, \text{К} \), \( T_2 = 1000 \, \text{К} \), \( d = 0.1 \, \text{м} \), \( k = 0.5 \), \( \rho = 7800 \, \text{кг/м}^3 \), \( c = 460 \, \text{дж/(кг*к)} \).

1. Вычисление мощности излучения:
Радиус шара: \( r = \frac{d}{2} = \frac{0.1}{2} = 0.05 \, \text{м} \)
Площадь поверхности шара: \( S = 4\pi r^2 = 4\pi (0.05)^2 \approx 0.0314 \, \text{м}^2 \)
Мощность излучения: \( P = \sigma S T_1^4 = (5.67 \times 10^{-8}) \cdot 0.0314 \cdot (1500)^4 \approx 48.45 \, \text{Вт} \)

2. Вычисление массы шара:
Масса шара: \( m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho = \frac{4}{3} \pi (0.05)^3 \cdot 7800 \approx 8.181 \, \text{кг} \)

3. Вычисление количества теплоты:
Количество теплоты: \( Q = m c (T_1 - T_2) = 8.181 \cdot 460 \cdot (1500 - 1000) \approx 18.942 \times 10^5 \, \text{Дж} \)

4. Вычисление времени охлаждения:
Время охлаждения: \( t = \frac{Q}{P} = \frac{18.942 \times 10^5}{48.45} \approx 390748.23 \, \text{сек} \)

5. Вычисление новой длины волны максимальной излучательной способности:
\( \lambda_{max} \cdot T_1 = b \Rightarrow \lambda_{max} = \frac{b}{T_1} = \frac{2.9 \times 10^{-3}}{1500} \approx 1.93 \times 10^{-6} \, \text{м} \)
После охлаждения до температуры \( T_2 \), длина волны максимальной способности увеличится.

Таким образом, время охлаждения нагретого железного шара до температуры \( T_2 = 1000 \, \text{К} \) составляет примерно 390748.23 секунд. Длина волны максимальной излучательной способности тела после охлаждения увеличится и будет примерно \( 1.93 \times 10^{-6} \, \text{м} \).